Question

在△ABC中，∠C=90°，則cos²A+cos²B=1，用類比的方法猜想三棱錐的類似性質，并證明你的猜想．

Answer 1

考點：棱錐的結構特征,類比推理

專題：空間位置關系與距離

分析：“在三棱錐P-ABC中，三個側面PAB、PAC、PCB兩兩垂直，且與底面所成的角分別為α，β，γ，則cos²α+cos²β+cos²γ=1”．
證明：設P在平面ABC上的射影為O，記PO=h，由已知得cosα=sin∠PCO=

h

PC

，同理，cosβ=

h

PA

，cosγ=

h

PB

，由此能證明cos²α+cos²β+cos²γ=1．

解答： 解：如圖，由平面類比到空間，有下列猜想：
“在三棱錐P-ABC中，三個側面PAB、PAC、PCB兩兩垂直，且與底面所成的角分別為α，β，γ，則cos²α+cos²β+cos²γ=1”．
證明：設P在平面ABC上的射影為O，記PO=h，
∵PC⊥PA，PC⊥pB，∴PC⊥平面PAB，
∴PC⊥PM，（M為CO與AB的交點），且∠PMC=α，
cosα=sin∠PCO=

h

PC

，
同理，cosβ=

h

PA

，cosγ=

h

PB

，
又

1

6

PA•PB•PC=VP-ABC=

1

3

(S△AOB+S△BOC+S△COA)h
=

1

3

(

1

2

PA•PB•cosα+

1

2

PB•PCcosβ+

1

2

PB•PCcosγ)h，
∴(

cosα

PC

+

cosβ

PA

+

cosγ

PB

)h=1，
∴cos²α+cos²β+cos²γ=1．

點評：本題考查類比的方法猜想三棱錐的類似性質，并證明猜想，是中檔題，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．