Question

如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E為AB的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ ADE沿直線DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCDE，F為線段A′D的中點(diǎn)．

(1)求證：EF//平面A′BC；
(2)求直線A′B與平面A′DE所成角的正切值．

Answer 1

（1）要證明線面平行，只要通過(guò)證明線線平行來(lái)得到即可。
（2）

試題分析：解：(1)證明：取A′C的中點(diǎn)M，連結(jié)MF，MB，則FM∥DC，且FM＝DC.

∵EB∥DC，且EB＝DC，
∴FM∥EB且FM=EB.
∴四邊形EBMF為平行四邊形，
∴EF∥MB.
∵EF平面A′BC，MB平面A′BC，
∴EF∥平面A′BC.                            4分
(2)過(guò)B作BO垂直于DE的延長(zhǎng)線，O為垂足，連結(jié)A′O.
∵平面A′DE⊥平面BCDE，且平面A′DE∩平面BCDE＝DE，
∴BO⊥平面A′DE，
∴∠BA′O就是直線A′B與平面A′DE所成的角．       7分
過(guò)A′作A′S⊥DE，S為垂足，

因?yàn)槠矫?i>A′DE⊥平面BCDE，且平面A′DE∩平面BCDE＝DE，
所以A′S⊥平面BCDE.
在Rt△A′SO中，A′S＝，SO＝2，所以A′O＝．
又BO＝，所以tan∠BA′O＝＝＝，
故直線A′B與平面A′DE所成角的正切值為．       10分
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面平行的判定定理與線面平行與線線平行的相互轉(zhuǎn)化，還考查了直線與平面所成角的求解，要注意利用已知圖形構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解．