Question

1．已知函數(shù)f（x）=|2x+1|+|2x-3|．
（I）若?x₀∈R，使得不等式f（x₀）≤m成立，求實數(shù)m的最小值M
（Ⅱ）在（I）的條件下，若正數(shù)a，b滿足3a+b=M，證明：$\frac{3}$+$\frac{1}{a}$≥3．

Answer 1

分析 （I）由絕對值不等式的性質(zhì)，求得f（x）的最小值，令m不小于最小值，即可得到所求M；
（Ⅱ）由題意可得1=$\frac{1}{4}$（3a+b），運用乘1法和基本不等式，即可得證．

解答 解：（I）函數(shù)f（x）=|2x+1|+|2x-3|，
可得|2x+1|+|2x-3|≥|（2x+1）-（2x-3）|=4，
當(dāng)（2x+1）（2x-3）≤0，即-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$時，f（x）取得最小值4．
由題意可得m≥4，
即實數(shù)m的最小值M=4；
（Ⅱ）證明：正數(shù)a，b滿足3a+b=4，
即1=$\frac{1}{4}$（3a+b），
$\frac{3}$+$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{3}$+$\frac{1}{a}$）（3a+b）=$\frac{1}{4}$（3+3+$\frac{a}$+$\frac{9a}$）
≥$\frac{1}{4}$×（6+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{9a}}$）=$\frac{1}{4}$×（6+2×3）=3，
當(dāng)且僅當(dāng)b=3a=2時，取得等號．
則$\frac{3}$+$\frac{1}{a}$≥3．

點評 本題考查絕對值不等式的性質(zhì)的運用：求最值，考查存在性問題的解法，以及基本不等式的運用，注意運用乘1法和滿足的條件：一正二定三等，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．