Question

如圖，△OBC的在個頂點坐標分別為（0，0）、（1，0）、（0，2），設(shè)P為線段BC的中點，P為線段CO的中點，P₃為線段OP₁的中點，對于每一個正整數(shù)n，P_n+3為線段P_nP_n+1的中點，令P_n的坐標為（x_n，y_n），an=

1

2

yn+yn+1+yn+2.
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃及a_n；
（Ⅱ）證明yn+4=1-

yn

4

，n∈N*；
（Ⅲ）若記b_n=y_4n+4-y_4n，n∈N^*，證明{b_n}是等比數(shù)列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可知yn-3=

yn+yn+1

2

，由此可推導(dǎo)出a_n=a₁=2，n∈N^*．
（Ⅱ）將等式

1

2

yn+yn+1+yn+2=2兩邊除以2，得

1

4

yn+

yn+1+yn+2

2

=1，由此可知yn+4=1-

yn

4

.
（Ⅲ）由bn-1=y4n+3-y4n+4=(1-

y4n+4

4

)-(1-

y4n

4

)=-

1

4

bn和b1=y3-y4=-

1

4

≠0，知{b_n}是公比為-

1

4

的等比數(shù)列．

解答：解：（Ⅰ）因為y1=y2=y4=1，y3=

1

2

，y5=

3

4

，
所以a₁=a₂=a₃=2，又由題意可知yn-3=

yn+yn+1

2

∴an+1=

1

2

y n+1+yn+2+yn+3
=

1

2

yn+1+yn+2+

y n+yn+1

2

=

1

2

yn+yn+1+yn+2=an，
∴{a_n}為常數(shù)列
∴a_n=a₁=2，n∈N^*．
（Ⅱ）將等式

1

2

yn+yn+1+yn+2=2兩邊除以2，得

1

4

yn+

yn+1+yn+2

2

=1，
又∵yn+4=

y n+1+yn+2

2

∴yn+4=1-

yn

4

.
（Ⅲ）∵bn-1=y4n+3-y4n+4=(1-

y4n+4

4

)-(1-

y4n

4

)
=-

1

4

(y4n+4-y4n)
=-

1

4

bn，
又∵b1=y3-y4=-

1

4

≠0，
∴{b_n}是公比為-

1

4

的等比數(shù)列．

點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和綜合運用，解題時要注意公式的靈活運用．