Question

證明：（1）

3

-

2

＞

6

-

5

；
（2）1，

2

，3不可能是一個等差數列中的三項．

Answer 1

考點：反證法與放縮法,不等式比較大小

專題：證明題,分析法,反證法

分析：（1）分析使不等式

3

-

2

＞

6

-

5

成立的充分條件，一直分析到使不等式成立的充分條件顯然具備，從而不等式得證．
（2）利用反證法證明，假設1，

2

，3是某一個等差數列中的三項，且分別是第m，n，k項，推出

2

-1是有理數，這與

2

-1是無理數相矛盾，即可證明不可能是等差數列中的三項．

解答： 證明：（1）要證明

3

-

2

＞

6

-

5

，
只需證明

3

+

5

＞

6

+

2

，
只需證明8+2

15

＞8+2

12

，
只需證明

15

＞

12

，
顯然成立，
所以

3

-

2

＞

6

-

5

；
（2）假設1，

2

，3是某一個等差數列中的三項，且分別是第m，n，k項（m，n，k∈N^*），
則數列的公差d=

2 -1

n-m

=

3-1

k-m

，則

2

-1=

2(n-m )

k-m

，
因為m，n，k∈N^*，所以（n-m），（k-m）∈Z，所以

2(n-m )

k-m

為有理數，
所以

2

-1是有理數，這與

2

-1是無理數相矛盾．
故假設不成立，所以1，

2

，3不可能是某等差數列的三項．

點評：本題主要考查利用分析法證明不等式，利用用分析法證明不等式的關鍵是尋找使不等式成立的充分條件，直到使不等式成立的充分條件已經顯然具備為止；反證法是屬于“間接證明法”一類，是從反面的角度思考問題的證明方法，即：肯定題設而否定結論，從而導出矛盾推理而得．應用反證法證明的具體步驟是：①反設：作出與求證結論相反的假設； ②歸謬：將反設作為條件，并由此通過一系列的正確推理導出矛盾；③結論：說明反設成立，從而肯定原命題成立．