Question

某校學生研究性學習小組發(fā)現(xiàn)，學生上課的注意力指標隨著聽課時間的變化而變化．老師講課開始時學生的興趣激增，接下來學生的興趣將保持較理想的狀態(tài)一段時間，隨后學生的注意力開始分散．該小組發(fā)現(xiàn)注意力指標f（t）與上課時刻第t分鐘末的關系如下（t∈（0，40]，設上課開始時，t=0）：
f（t）=

100a t 10 -60(0＜t≤10) 340(10＜t≤20) -15t+640(20＜t≤40)

（a＞0且a≠1）．若上課后第5分鐘末時的注意力指標為140，
（1）求a的值；
（2）上課后第5分鐘末和下課前5分鐘末比較，哪個時刻注意力更集中？
（3）在一節(jié)課中，學生的注意力指標至少達到140的時間能保持多長？

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應用

專題：計算題,應用題,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）由題意，100•a

5

10

-60=140，從而求a的值；
（2）上課后第5分鐘末時f（5）=140，下課前5分鐘末f（35）=-15×35+640=115，從而可得答案；
（3）分別討論三段函數(shù)上f（t）≥140的解，從而求出f（t）≥140的解，從而求在一節(jié)課中，學生的注意力指標至少達到140的時間能保持的時間．

解答： 解：（1）由題意得，當t=5時，f（t）=140，
即100•a

5

10

-60=140，
解得，a=4；
（2）f（5）=140，f（35）=-15×35+640=115，
由于f（5）＞f（35），
故上課后第5分鐘末比下課前5分鐘末注意力更集中；
（3）①當0＜t≤10時，
由（1）知，f（t）≥140的解集為[5，10]，
②當10＜t≤20時，f（t）=340＞140，成立；
③當20＜t≤40時，-15t+640≥140，
故20＜t≤

100

3

，
綜上所述，5≤t≤

100

3

，
故學生的注意力指標至少達到140的時間能保持

100

3

-5=

85

3

分鐘．

點評：本題考查了分段函數(shù)的應用，同時考查了實際問題轉化為數(shù)學問題的能力，屬于中檔題．