Question

9．已知向量$\overrightarrow m=（\sqrt{3}sin\frac{x}{2}，-1）$，向量$\overrightarrow n=（cos\frac{x}{2}，-\frac{1}{2}）$，函數(shù)$f（x）=（\overrightarrow m+\overrightarrow n）•\overrightarrow m$．
（1）求f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）將函數(shù)f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再把得到的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）的解析式及其圖象的對(duì)稱中心．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)$f（x）=（\overrightarrow m+\overrightarrow n）•\overrightarrow m$．利用向量的運(yùn)算可得f（x），化簡(jiǎn)為y=Asin（ωx+φ）的形式，將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的減區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的平移變換規(guī)律求出g（x）的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得其圖象的對(duì)稱中心．

解答 解：向量$\overrightarrow m=（\sqrt{3}sin\frac{x}{2}，-1）$，向量$\overrightarrow n=（cos\frac{x}{2}，-\frac{1}{2}）$，
（1）f（x）=$f（x）=（\overrightarrow m+\overrightarrow n）•\overrightarrow m$=${\overrightarrow{m}}^{2}+\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$3{sin^2}\frac{x}{2}+1+\sqrt{3}sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+\frac{1}{2}$
=$\frac{3}{2}（{1-cosx}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx+\frac{3}{2}$=$\sqrt{3}sin（x-\frac{π}{3}）+3$
令 $2kπ+\frac{π}{2}≤x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，
得$2kπ+\frac{5π}{6}≤x≤2kπ+\frac{11π}{6}$，
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為$[{2kπ+\frac{5π}{6}，2kπ+\frac{11π}{6}}]$，k∈Z．
（2）由（1）知 $f（x）=\sqrt{3}sin（x-\frac{π}{3}）+3$，把$f（x）=\sqrt{3}sin（x-\frac{π}{3}）+3$的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到$y=\sqrt{3}sin（\frac{1}{2}x-\frac{π}{3}）+3$的圖象，再把得到的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位，得到$y=\sqrt{3}sin（\frac{1}{2}x-\frac{π}{6}）+3$的圖象，
因此$g（x）=\sqrt{3}sin（\frac{1}{2}x-\frac{π}{6}）+3$，
令$\frac{1}{2}x-\frac{π}{6}=kπ$，
得 $x=2kπ+\frac{π}{3}$，k∈Z
∴函數(shù)y=g（x）圖象的對(duì)稱中心為$（2kπ+\frac{π}{3}，3）$，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題