Question

已知函數(shù)f（x）=aln（1+x）+x²-10x
（1）若x=3是該函數(shù)的一個極值點，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）若f（x）在[1，4]上是單調(diào)減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）利用導數(shù)與極值的關系，先求得a，再根據(jù)導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關系即可判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由題意可得f′(x)=

a

1+x

+2x-10=

2x2-8x+a-10

1+x

≤0在[1，4]上恒成立，即a≤[-（2x²-8x-10）]_min，利用導數(shù)求得函數(shù)的最小值．

解答： 解：（1）∵f′(x)=

a

1+x

+2x-10，
∴f′(3)=

a

4

+6-10=0，因此a=16
∴f（x）=16ln（1+x）+x²-10x，其定義域為（-1，+∞），
f′(x)=

16

1+x

+2x-10=

2(x2-4x+3)

1+x

=

2(x-1)•(x-3)

1+x

，
又∵f（x）定義域為（-1，+∞），
當f'（x）＞0，即-1＜x＜1，或x＞3時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當f'（x）＜0，即1＜x＜3時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，1），（3，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，3）．
（2）∵f（x）在[1，4]上是單調(diào)減函數(shù)
∴f′(x)=

a

1+x

+2x-10=

2x2-8x+a-10

1+x

≤0在[1，4]上恒成立，
∴2x²-8x+a-10≤0在[1，4]上恒成立，
∴a≤[-（2x²-8x-10）]_min，
∵在[1，4]上，10≤-（2x²-8x-10）≤18
∴a≤10．

點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等知識，考查學生恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化能力及運算求解能力，屬于中檔題．