Question

【題目】對正整數n，記In={1，2，3…，n}，Pn={ |m∈In ， k∈In}．
（1）求集合P7中元素的個數；
（2）若Pn的子集A中任意兩個元素之和不是整數的平方，則稱A為“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成兩個不相交的稀疏集的并集．

Answer 1

【答案】
（1）解：對于集合P7，有n=7．

當k=1時，m=1，2，3…，7，Pn={1，2，3…，7}，7個數，

當k=2時，m=1，2，3…，7，Pn對應有7個數，

當k=3時，m=1，2，3…，7，Pn對應有7個數，

當k=4時，Pn={ |m∈In，k∈In}=Pn={ ，1， ，2， ，3， }中有3個數（1，2，3）

與k=1時Pn中的數重復，

當k=5時，m=1，2，3…，7，Pn對應有7個數，

當k=6時，m=1，2，3…，7，Pn對應有7個數，

當k=7時，m=1，2，3…，7，Pn對應有7個數，

由此求得集合P7中元素的個數為 7×7﹣3=46

（2）解：先證當n≥15時，Pn不能分成兩個不相交的稀疏集的并集．假設當n≥15時，

Pn可以分成兩個不相交的稀疏集的并集，設A和B為兩個不相交的稀疏集，使A∪B=PnIn．

不妨設1∈A，則由于1+3=22，∴3A，即3∈B．同理可得，6∈A，10∈B．又推出15∈A，

但1+15=42，這與A為稀疏集相矛盾．

再證P14滿足要求．當k=1時，P14={ |m∈I14，k∈I14}=I14，可以分成2個稀疏集的并集．

事實上，只要取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，

則A1和B1都是稀疏集，且A1∪B1=I14．

當k=4時，集合{ |m∈I14}中，除整數外，剩下的數組成集合{ ， ， ，…， }，

可以分為下列3個稀疏集的并：

A2={ ， ， ， }，B2={ ， ， }．

當k=9時，集合{ |m∈I14}中，除整數外，剩下的數組成集合{ ， ， ， ，…， ， }，

可以分為下列3個稀疏集的并：

A3={ ， ， ， ， }，B3={ ， ， ， ， }．

最后，集合C═{ |m∈I14，k∈I14，且k≠1，4，9}中的數的分母都是無理數，

它與Pn中的任何其他數之和都不是整數，

因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，則A和B是不相交的稀疏集，且A∪B=P14．

綜上可得，n的最大值為14

【解析】（1）對于集合P7 ， 有n=7．當k=4時，根據Pn中有3個數與In={1，2，3…，n}中的數重復，由此求得集合P7中元素的個數．（2）先用反證法證明證當n≥15時，Pn不能分成兩個不相交的稀疏集的并集，再證P14滿足要求，從而求得n的最大值．