Question

1．已知拋物線C：y²=8x的焦點為F，準線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若$\overrightarrow{PF}$=3$\overrightarrow{QF}$，則|QF|=$\frac{8}{3}$，點Q的坐標為（$\frac{2}{3}$，±$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）．

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點F，準線l，運用向量共線定理和三角形的相似知識，可得|QM|=$\frac{8}{3}$，由拋物線的定義可得|QF|；運用點到直線的距離公式，解方程可得Q的坐標．

解答 解：拋物線C：y²=8x的焦點為F（2，0），準線為l：x=-2，
$\overrightarrow{PF}$=3$\overrightarrow{QF}$，可得$\overrightarrow{PQ}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{PF}$，
過Q作l的垂線，垂足為M，
設(shè)l與x軸的交點為H，
由三角形的相似可得，
$\frac{QM}{FH}$=$\frac{PQ}{PF}$，即為$\frac{QM}{4}$=$\frac{2}{3}$，
則|QM|=$\frac{8}{3}$，
由拋物線的定義可得|QF|=|QM|=$\frac{8}{3}$；
又xQ+2=$\frac{8}{3}$，解得x_Q=$\frac{2}{3}$，
y_Q=±$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
即Q（$\frac{2}{3}$，±$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）．
故答案為：$\frac{8}{3}$，（$\frac{2}{3}$，±$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）．

點評 本題考查拋物線的定義、方程和簡單性質(zhì)，考查向量共線定理的運用，運算化簡能力，屬于中檔題．