Question

5．下列命題，正確命題個數(shù)為（　�。�
①若tanA•tanB＞1，則△ABC一定是鈍角三角形；
②若sin2A=sin2B，則△ABC一定是等腰三角形；
③若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，則△ABC一定是等邊三角形；
④在銳角三角形ABC中，一定有sinA＞cosB．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 切化弦，利用合角公式可得cos（A+B）＜0，推出C為銳角判斷①；由已知得到2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=$\frac{π}{2}$判斷②；根據(jù)|cosx|≤1，不等式可轉(zhuǎn)換為cos（A-B）=cos（B-C）=cos（C-A）=1，進(jìn)而得出結(jié)論判斷③；由三角形ABC為銳角三角形得到A+B＞90°，得A＞90°-B，進(jìn)一步得到sinA＞sin（90°-B）=cosB判斷④．

解答 解：①∵tanA•tanB＞1，
∴tanA＞0，tanB＞0，即A，B為銳角，
由tanA•tanB＞1，得sinAsinB＞cosAcosB，即cos（A+B）＜0，
∴A+B為鈍角，故C為銳角，則△ABC一定是銳角三角形，故①錯誤；
②若sin2A=sin2B，則2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，△ABC是等腰三角形或直角三角形，故②錯誤；
③若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，
∵|cosx|≤1，
∴cos（A-B）=cos（B-C）=cos（C-A）=1，
∵A、B、C＜180°，∴A-B=B-C=C-A=0，則A=B=C=60°，
∴△ABC是等邊三角形，故③正確；
④在銳角△ABC中，有A+B＞90°，
∴A＞90°-B，
∴sinA＞sin（90°-B）=cosB，故④正確．
∴正確的命題有2個．
故選：B．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了三角形的解法，是中檔題．