精英家教網(wǎng)如圖.在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是正方形,SA⊥底面ABCD,SA=AB,點(diǎn)M是SD上的點(diǎn),AM與BC所成的角為
π4
,
AN⊥SC,垂足為點(diǎn)N.
(I)求證:SB∥平面ACM;
( II)求直線AC與平面SDC所成的角;
(Ⅲ)求二面角N-AM-C的大。
分析:(I)由題意連接BD交AC于E,連接ME,根據(jù)ME是三角形DSB的中位線進(jìn)行證明;
(II)由題可得,CD⊥平面SAD,直線AC與平面SDC所成的角為∠ACM,然后在Rt△AMC中進(jìn)行求解;
(Ⅲ)因?yàn)锳M⊥平面SCD,所以∠NMC為二面角N-AM-C的一個(gè)平面角,然后在直角三角形中求其余弦值,從而求解.
解答:精英家教網(wǎng)解法一:依題意有AD∥BC,所以∠MAD=
π
4

所以點(diǎn)M是SD的中點(diǎn),且AM⊥SD(3分)
(Ⅰ)證明:連接BD交AC于E,連接ME(4分)
∵ABCD是正方形,
∴E是BD的中點(diǎn)∵M(jìn)是SD的中點(diǎn),
∴ME是△DSB的中位線
∴ME∥SB(5分)
又∵M(jìn)E?平面ACM,SB?平面ACM,
∴SB∥平面ACM. (6分)

(Ⅱ)由題可得,CD⊥平面SAD,所以有CD⊥AM,又SD⊥AM
∴AM⊥平面SCD,
∴∠ACM為直線AC與平面SDC所成的角(8分)
在Rt△AMC中,AM=
1
2
SD=
2
2
AD
AC=
2
AD

∠ACM=
π
6
,即直線AC于平面SDC所成的角為
π
6
(9分)
(Ⅲ)∵AM⊥平面SCD
∴∠NMC為二面角N-AM-C的一個(gè)平面角(10分)
且AM⊥SC,又AN⊥SC
∴SC⊥平面AMN∴SC⊥MN.
在Rt△MNC中CM=
CD2+MD2
=
6
2
AD
,
∵Rt△SNM∽R(shí)t△SDC
MN=
CD•SM
SC
=
AD•
2
2
AD
3
AD
=
6
6
AD

cos∠NMC=
MN
CM
=
6
6
AD
6
2
AD
=
1
3


∴二面角N-AM-C的大小為arccos
1
3
(12分)
解法二:依題意有AD∥BC,所以∠MAD=
π
4

所以點(diǎn)M是SD的中點(diǎn),且AM⊥SD
如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,
由SA=AB故設(shè)AB=AD=AS=1則A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(1,0,0),S(0,0,1),M(
1
2
,0,
1
2
)
(3分)
(Ⅰ)連接BD交AC于E,則E(
1
2
,
1
2
,0)

SB
=(0,1,-1),
ME
=(0,
1
2
,-
1
2
)

ME
=
1
2
SB

SB
ME

∴SB∥平面ACM(6分)

(Ⅱ)由題可得,CD⊥平面SAD,所以有CD⊥AM
又SD⊥AM
∴AM⊥平面SCD
AM
為平面SCD的一個(gè)法向量
cos<
AM
,
AC
>=
AM
AC
|
AM
|•|
AC
|
=
1
2

AM
,
AC
>=
π
3

∴直線AC于平面SDC所成的角為
π
2
-
π
3
=
π
6
(9分)
(Ⅲ)∵AM⊥平面SCD
∴AM⊥SC,又AN⊥SC
∴SC⊥平面AMN
SC
=(1,1,-1)
為平面AMN的一個(gè)法向量.
設(shè)平面AMC的一個(gè)法向量為
n
=(x,y,z)
,則
n
AM
=0
n
AC
=0
x+z=0
x+y=0
,
令x=1,則z=y=-1即
n
=(1,-1,-1)

cos<
n
,
SC
>=
n
SC
|
n
|•|
SC
|
=
1
3

∴二面角N-AM-C的大小為arccos
1
3
(12分)
點(diǎn)評(píng):此題是道綜合性比較強(qiáng)的題,考查空間直線與平面平行的判斷及二面角的求法,構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵,此類題型是高考常出的,同學(xué)們要注意兩種方法的區(qū)別和聯(lián)系.
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精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐S-ABCD中,AD∥BC且AD⊥CD;平面CSD⊥平面ABCD,CS⊥DS,CS=2AD=2;E為BS的中點(diǎn),CE=
2
,AS=
3
,求:
(Ⅰ)點(diǎn)A到平面BCS的距離;
(Ⅱ)二面角E-CD-A的大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為正方形,側(cè)棱SD⊥底面ABCD,E、F分別是AB、SC的中點(diǎn)
(1)求證:EF∥平面SAD
(2)設(shè)SD=2CD,求二面角A-EF-D的大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐S-ABCD中,SA⊥底面ABCD,∠BAD=∠ABC=90°,SA=AB=AD=
1
3
BC=1
,E為SD的中點(diǎn).
(1)若F為底面BC邊上的一點(diǎn),且BF=
1
6
BC
,求證:EF∥平面SAB;
(2)底面BC邊上是否存在一點(diǎn)G,使得二面角S-DG-A的正切值為
2
?若存在,求出G點(diǎn)位置;若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為正方形,側(cè)棱SD⊥底面ABCD,E,F(xiàn)分別為AB,SC的中點(diǎn).
(1)證明EF∥平面SAD;
(2)設(shè)SD=2DC,求二面角A-EF-D的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在四棱錐S-ABCD中,平面SAD⊥平面ABCD.底面ABCD為矩形,AD=
2
a,AB=
3
a
,SA=SD=a.
(Ⅰ)求證:CD⊥SA;
(Ⅱ)求二面角C-SA-D的大小.

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