Question

17．函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d在區(qū)間[-1，2]上是減函數(shù)，則b-c的最小值為-$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)在x∈[-1，2]上恒成立列出關(guān)于b，c的不等式組，然后利用線(xiàn)性規(guī)劃知識(shí)求得b-c的取值范圍．

解答 解：由f（x）=x³+bx²+cx+d，
則f′（x）=3x²+2bx+c．
要使函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d的區(qū)間[-1，2]上是減函數(shù)，
則f′（x）=3x²+2bx+c≤0在x∈[-1，2]上恒成立．
所以 $\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）≤0}\\{f′（2）≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2b-c≥3}\\{4b+c≤-12}\end{array}\right.$，
以b為橫軸，c為縱軸畫(huà)出可行域如圖，

聯(lián)立 $\left\{\begin{array}{l}{2b-c=3}\\{4b+c=-12}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{2}}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
所以可行域上頂點(diǎn)為A（-$\frac{3}{2}$，-6），
令z=b-c，則c=b-z，
結(jié)合圖象直線(xiàn)c=b-z過(guò)A時(shí)，z最小，
此時(shí)z=-6-（-$\frac{3}{2}$）=-$\frac{9}{2}$，
故答案為：-$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系，訓(xùn)練了利用線(xiàn)性規(guī)劃知識(shí)求最值，是中檔題．