Question

某公司準(zhǔn)備將1000萬元資金投入到市環(huán)保工程建設(shè)中，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)建設(shè)項(xiàng)目選擇，若投資甲項(xiàng)目一年后可獲得的利潤ξ₁（萬元）的概率P分布列如表所示：

ξ1	110	120	170
P	m	0.4	n

且ξ₁的期望E（ξ₁）=120；若投資乙項(xiàng)目一年后可獲得的利潤ξ₂（萬元）與該項(xiàng)目建設(shè)材料的成本有關(guān)，在生產(chǎn)的過程中，公司將根據(jù)成本情況決定是否在第二和第三季度進(jìn)行產(chǎn)品的價(jià)格調(diào)整，兩次調(diào)整相互獨(dú)立且調(diào)整的概率分別為p（0＜p＜1）和1-p，乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格一年內(nèi)調(diào)整次數(shù)X（次）與ξ₂的關(guān)系如表所示：

X（次）	0	1	2
ξ2	41.2	117.6	204.0

（1）求m，n的值；
（2）求ξ₁的分布列；
（3）若E（ξ₁）＜E（ξ₂）則選擇投資乙項(xiàng)目，求此時(shí)P的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由題意得：

m+0.4+n=1 110m+120×0.4+170n=120

由此能求出m，n的值．
（2）ξ₂的可能取值為41.2，117.6，204.0．分別求出P（X₂=41.2），P（X₂=117.6），P（X₂=204.0），由此能求出ξ₂的分布列．
（3）由（2）求出E（ξ₂）=-10p²+10p+117.6．因?yàn)镋（ξ₁）＜E（ξ₂），所以120＜-10p²+10p+117.6．由此能求出當(dāng)選擇投資乙項(xiàng)目時(shí)，p的取值范圍．

解答： 解：（1）由題意得：

m+0.4+n=1 110m+120×0.4+170n=120

解得：m=0.5，n=0.1．…（3分）
（2）ξ₂的可能取值為41.2，117.6，204.0．…（4分）
P（ξ₂=41.2）=（1-p）[1-（1-p）]=p（1-p），…（5分）
P（ξ₂=117.6）=p[1-（1-p）+（1-p）（1-p）=p²+（1-p）²，…（7分）
P（ξ₂=204.0）=p（1-p）．…（8分）
所以ξ₂的分布列為：

ξ2	41.2	117.6	204.0
P	p （1-p）	p2+（1-p）2	p （1-p）

…（9分）
（3）由（2）可得：E（ξ₂）=41.2p（1-p）+117.6[p²+（1-p）²]+204.0p（1-p）
=-10p²+10p+117.6．…（11分）
因?yàn)镋（ξ₁）＜E（ξ₂），
所以120＜-10p²+10p+117.6．
所以0.4＜p＜0.6．
當(dāng)選擇投資B項(xiàng)目時(shí)，p的取值范圍是（0.4，0.6）．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用，是中檔題．在歷年高考中都是必考題型，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意概率知識(shí)的合理運(yùn)用．