Question

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且b=3a；
（1）若C=

π

3

，△ABC的面積為

3 3

4

，求a的值；
（2）求

sin(C-A)

sinA

-4sin2

C

2

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理

專題：計(jì)算題,解三角形

分析：（1）根據(jù)題意，利用三角形的面積公式得到S△ABC=

1

2

absinC=

3 3

4

a2，由△ABC的面積為

3 3

4

建立關(guān)于a的等式，解之即可得到邊a的值；
（2）根據(jù)b=3a利用正弦定理可得

sinB

sinA

=3，再由二倍角的余弦公式將原式化簡，通分后再利用兩角和與差的正弦加以計(jì)算，可得原式的值為1．

解答： 解：（1）∵△ABC中，b=3a，C=

π

3

∴△ABC的面積為S=

1

2

absinC=

3 3

4

，
即

3 3

4

a2=

3 3

4

，解之得a=1；
（2）∵b=3a，∴由正弦定理得sinB=3sinA，可得

sinB

sinA

=3；
因此，

sin(C-A)

sinA

-4sin2

C

2

=

sin(C-A)

sinA

-2(1-cosC)
=

sin(C-A)+2sinAcosC

sinA

-2=

sinCcosA+cosCsinA

sinA

-2=

sin(C+A)

sinA

-2=

sinB

sinA

-2=1，
即

sin(C-A)

sinA

-4sin2

C

2

的值為1．

點(diǎn)評：本題給出三角形的邊a、b的倍數(shù)關(guān)系，在已知角C與面積的情況下求邊a的長，并求關(guān)于A、C的三角函數(shù)式的值．著重考查了和與差的三角函數(shù)公式、三角形的面積公式和正弦定理等知識(shí)，屬于中檔題．