如圖所示,已知圓O外有一點P,作圓O的切線PM,M為切點,過PM的中點N,作割線NAB,交圓于A、B兩點,連接PA并延長,交圓O于點C,連接PB交圓O于點D,若MC=BC.

(1)求證:△APM∽△ABP;

(2)求證:四邊形PMCD是平行四邊形.


證明:(1)∵PM是圓O的切線,NAB是圓O的割線,N是PM的中點,

∴MN2=PN2=NA·NB, ∴=,

又∵∠PNA=∠BNP, ∴△PNA∽△BNP,

∴∠APN=∠PBN, 即∠APM=∠PBA.

∵MC=BC, ∴∠MAC=∠BAC,

∴∠MAP=∠PAB,

∴△APM∽△ABP.

(2)∵∠ACD=∠PBN,

∴∠ACD=∠PBN=∠APN,即∠PCD=∠CPM,

∴PM∥CD,

∵△APM∽△ABP,∴∠PMA=∠BPA,

∵PM是圓O的切線,∴∠PMA=∠MCP,

∴∠PMA=∠BPA=∠MCP,即∠MCP=∠DPC,

∴MC∥PD,

∴四邊形PMCD是平行四邊形.


練習冊系列答案
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