Question

15．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，D是$\widehat{AC}$的中點(diǎn)，BD交AC于點(diǎn)E．
（I）求證：AB•CD=BD•AE
（Ⅱ）若CD=2，AC=2$\sqrt{3}$，求⊙O的面積S．

Answer 1

分析 （I）證明△ABE∽△DBC，可得AB•CD=BD•AE
（Ⅱ）若CD=2，AC=2$\sqrt{3}$，利用余弦定理得出cos∠ADC，可得sin∠ADC，利用正弦定理求出半徑，即可求⊙O的面積S．

解答 （I）證明：∵D是$\widehat{AC}$的中點(diǎn)，
∴∠ABE=∠DBC，
∵∠A=∠D，
∴△ABE∽△DBC，
∴$\frac{AB}{DB}=\frac{AE}{DC}$，
∴AB•CD=BD•AE；
（Ⅱ）解：∵CD=AD=2，AC=2$\sqrt{3}$，
∴cos∠ADC=$\frac{4+4-12}{2×2×2}$=-$\frac{1}{2}$，
∴sin∠ADC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴2R=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4，
∴R=2，
∴⊙O的面積S=π•2²=4π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查余弦定理、正弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．