（本小題滿分12分）
拋物線的頂點在原點，焦點在x軸的正半軸上，直線x+y-1=0與拋物線相交于A、B兩點，且。 
(1) 求拋物線方程；
(2) 在x軸上是否存在一點C,使得三角形ABC是正三角形? 若存在，求出點C的坐標，若不存在，說明理由.

（1）（2）故在x軸上不存在一點C, 使三角形ABC是正三角形

解析試題分析：（1）設(shè)拋物線方程為
得：
設(shè)
則




拋物線方程是……………………………………………6分
（2）設(shè)AB的中點是D，則
假設(shè)x軸上存在一點C(x0, 0)
因為三角形是正三角形，
所以CD⊥AB
得：

又
矛盾，故在x軸上不存在一點C, 使三角形ABC是正三角形…………12分
考點：本試題考查了拋物線的方程，以及直線與拋物線的位置關(guān)系。
點評：解析幾何的本質(zhì)就是運用代數(shù)的方法，結(jié)合坐標來分析解析幾何中的圖形的性質(zhì)。因此設(shè)而不求的思想，是解析幾何中解答題的必須步驟，同時結(jié)合韋達定理來實現(xiàn)坐標關(guān)系，屬于中檔題。

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓E：的焦點坐標為（），點M（，）在橢圓E上．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)Q（1，0），過Q點引直線與橢圓E交于兩點，求線段中點的軌跡方程；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

(本小題滿分12分)
如圖，拋物線的頂點為坐標原點，焦點在軸上，準線與圓相切．

（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）若點在拋物線上，且，求點的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本題滿分12分）
在平面直角坐標系xOy中，拋物線C的頂點在原點，經(jīng)過點A(2,2)，其焦點F在x軸上．
(1)求拋物線C的標準方程；
(2)設(shè)直線l是拋物線的準線，求證：以AB為直徑的圓與準線l相切．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分14分）
已知動圓P（圓心為點P）過定點A（1，0），且與直線相切。記動點P的軌跡為C。
（Ⅰ）求軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點P的直線l與曲線C相切，且與直線相交于點Q。試研究：在x軸上是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本題13分）設(shè)橢圓的左右焦點分別為，，上頂點為，過點與垂直的直線交軸負半軸于點，且是的中點．

（1）求橢圓的離心率；
（2）若過點的圓恰好與直線相切，求橢圓的方程；
（3）在（2）的條件下過右焦點作斜率為的直線與橢圓相交于兩點，在軸上是否存在點使得以為鄰邊的平行四邊形為菱形，如果存在，求出的取值范圍，如果不存在，說明理由。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分13分）
如圖，已知橢圓的焦點為、，離心率為，過點的直線交橢圓于、兩點．

（1）求橢圓的方程；
（2）①求直線的斜率的取值范圍；
②在直線的斜率不斷變化過程中，探究和是否總相等？若相等，請給出證明，若不相等，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖,已知點是橢圓的右頂點,若點在橢圓上,且滿足.(其中為坐標原點)

（1）求橢圓的方程;
（2）若直線與橢圓交于兩點,當時,求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本題滿分12分）已知橢圓經(jīng)過點，且其右焦點與拋物線的焦點F重合.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（II）直線經(jīng)過點與橢圓相交于A、B兩點，與拋物線相交于C、D兩點．求的最大值．

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