Question

已知F₁，F(xiàn)₂為橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的左、右焦點(diǎn)，M為橢圓上動(dòng)點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：
①|(zhì)MF₂|的最大值大于3；
②|MF₁|•|MF₂|的最大值為4；
③若過F₂作∠F₁MF₂的外角平分線的垂線，垂足為N，則點(diǎn)N的軌跡方程是x²+y²=4；
④若動(dòng)直線l垂直y軸，交此橢圓于A、B兩點(diǎn)，P為l上滿足|PA|•|PB|=2的點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡方程為

x2

2

+

2y2

3

=1或

x2

6

+

2y2

9

=1．
以上結(jié)論正確的序號(hào)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題,壓軸題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：①利用橢圓的幾何性質(zhì)，求出|MF₂|的最大值是a+c；
②利用橢圓的幾何性質(zhì)|MF₁|+|MF₂|=2a，結(jié)合基本不等式MF₁|•|MF₂|≤(

|MF1|+|MF2|

2

)2，求出|MF₁|•|MF₂|的最大值；
③利用外角平分線作垂線的幾何特征得出N是線段F₂P的中點(diǎn)，結(jié)合中位線定理得ON的長(zhǎng)為定值，從而求得N的軌跡方程；
④設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y），依題意得A（x₀，y），B（-x₀，y），由|PA|•|PB|=2求出點(diǎn)P的坐標(biāo)關(guān)系式，代入橢圓方程求出P點(diǎn)的軌跡方程．

解答： 解：對(duì)于①，橢圓

x2

4

+

y2

3

=1中，a=2、c=1，∴|MF₂|的最大值是a+c=2+1=3，∴①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，|MF₁|+|MF₂|=2a=4，∴|MF₁|•|MF₂|≤(

|MF1|+|MF2|

2

)2=4，∴|MF₁|•|MF₂|的最大值為4，②正確；
對(duì)于③，如圖，
延長(zhǎng)F₂N與F₁M交于P，連接ON，則點(diǎn)P、F₂關(guān)于點(diǎn)N對(duì)稱，
∴ON=

1

2

F₁P=

1

2

（MF₁+MF₂）=a=2，
∴動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程為x²+y²=4；∴③正確；
對(duì)于④，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），依題意得A（x₀，y），B（-x₀，y），
∵|PA|•|PB|=2，∴|x-x₀|•|x+x₀|=|x²-x02|=2，即x02=x²±2；
代入橢圓方程得

x2±2

4

+

y2

3

=1，
即

x2

2

+

2y2

3

=1（-

3

≤y≤

3

）與

x2

6

+

2y2

9

=1（-

3

≤y≤

3

）；
∴P點(diǎn)的軌跡為兩橢圓

x2

2

+

2y2

3

=1與

x2

6

+

2y2

9

=1夾在兩直線y=±

3

之間的弧長(zhǎng)，∴④錯(cuò)誤；
綜上，正確的命題是②③．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓方程的定義與幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用問題，也考查了一定的推理與計(jì)算能力，是綜合題，也是較難的題目．