Question

下列四個命題：
①在△ABC中，若sinA＞sinB，則A＞B；
②設△ABC的內角A，B，C所對的邊a，b，c成等比數(shù)列，則

sinA+cosA•tanC

sinB+cosB•tanC

的取值范圍是（

5 -1

2

，

5 +1

2

）；
③S_n為等差數(shù)列{a_n}的前n項和，若a₁＞0，S₆=S₉，則S₁₅=-15；
④數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₁=1，a_n+1+2S_n=n+1，則S₂₀₁₃=1007；
⑤數(shù)列{a_n}滿足a₁=33，a_n+1-a_n=2n，則

an

n

的最小值為

53

5

．
其中正確的命題序號

 

．（注：把你認為正確的序號都填上）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,解三角形

分析：①借助于正弦定理容易判斷；
②由題意b²=ac，再借助于兩角和與差公式及正弦定理將后面的式子化簡為

b

a

，將前式代入任意兩邊之和大于第三邊，構造出

b

a

的不等式組解之即可；
③利用性質不難得到a₈=0，則s₁₅=0；
④可先推導出通項公式，再求s₂₀₁₃；
⑤先用累加法求出通項公式，再求結果的最小值．

解答： 解：①由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

，且sinA＞sinB，所以上式等價于a＞b，根據(jù)大邊對大角，可得A＞B；故①正確；
②由已知得b²=ac，由

sinA+cosA•tanC

sinB+cosB•tanC

=

sinA+cosA sinC cosC

sinB+cosB sinC cosC

=

sinAcosC+cosAsinC

sinBcosC+cosBsinC

=

sin(A+C)

sin(B+C)

=

sinB

sinA

=

b

a

；不妨令

b

a

=t＞0，
將c=

b2

a

代入a+b＞c，后得a²+ab＞b²，兩邊同除以a²結合t=

b

a

得t²-t-1＜0，解得

1- 5

2

＜t＜

1+ 5

2

①，
同理將c=

b2

a

分別帶入a+c＞b，b+c＞a整理化簡后解得t＜

-1- 5

2

或t＞

-1+ 5

2

，聯(lián)立①式解得

-1+ 5

2

＜t＜

1+ 5

2

，故②正確；
③由s₆=s₉得a₇+a₈+a₉=3a₈=0，所以s15=

15(a1+a15)

2

=15a8=0，故③錯；
④由a_n+1+2S_n=n+1得 a_n+2s_n-1=n，兩式相減得a_n+1+a_n=1，又a₂+2a₁=2，所以a₂=0，該數(shù)列為1，0，1，0，1，0…，即偶數(shù)項為0，奇數(shù)項為1，所以s2013=

2012

2

+1=1007．故④正確；
⑤利用累加法可得a_n-a₁=2×（1+2+3+…+（n-1））=n（n-1），故a_n=33+n（n-1），∴

an

n

=

n2-n+33

n

=n+

33

n

-1，由于函數(shù)y=x+

33

x

在（0，

33

）遞減，在[

33

，+∞)上遞增，結合n∈N^*，易知n=6時，

an

n

最小值為

21

2

，故⑤錯．
故答案為①②④

點評：這是一道有關推理的問題，主要是考查了等差數(shù)列、數(shù)列求和、解三角形有關基礎知識，思維量較大，做題時需仔細認真方能少出錯．