18．在半徑為1，圓心角為$θ（{0＜θ≤\frac{π}{2}}）$的扇形中，求內(nèi)接矩形面積的最大值．

分析 將圖二可拆分成兩個圖一的形式，可以類比得到結(jié)論，圖一角是θ，圖二拆分后角是$\frac{θ}{2}$，故矩形面積的最大值為$\frac{1}{2}tan\frac{θ}{4}$，由此可得結(jié)論．

解答 解：圖一，設(shè)∠COF=x，則CF=rsinx=sinx．
在△OCD中，$\frac{CD}{sin（θ-x）}=\frac{r}{sin（π-θ）}$，
∴CD=$\frac{rsin（θ-x）}{sinθ}$=$\frac{sin（θ-x）}{sinθ}$，
∴矩形面積S=$\frac{sin（θ-x）sinx}{sinθ}$≤$\frac{1-cosθ}{2sinθ}$=$\frac{1}{2}tan\frac{θ}{2}$．
故圖一矩形面積的最大值為$\frac{1}{2}tan\frac{θ}{2}$．
圖二可拆分成兩個，
圖一角是θ，圖二拆分后角是$\frac{θ}{2}$，故根據(jù)圖一得出的結(jié)論，可得矩形面積的最大值為$\frac{1}{2}tan\frac{θ}{4}$，
而圖二時由兩個這樣的圖形組成，
∴兩個則為$tan\frac{θ}{4}$．
故圖二矩形面積的最大值為$tan\frac{θ}{4}$．

點評 本題考查扇形內(nèi)接矩形面積問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)兩個圖之間的聯(lián)系，利用已有的結(jié)論進行解題，是中檔題．

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

10．在等差數(shù)列{an}中，an＞0，a7=$\frac{1}{2}$a4+4，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，S19=152．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

9．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）+2sin2（$\frac{ωx+φ}{2}$）-1（ω＞0，0＜φ＜π）為奇函數(shù)，且相鄰兩對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）當$x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{4}]$時，求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位長度，再把橫坐標縮小為原來的$\frac{1}{2}$（縱坐標不變），得到函數(shù)y=g（x）的圖象，當$x∈[-\frac{π}{12}，\frac{π}{6}]$時，求函數(shù)g（x）的值域．

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6．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，$-\frac{1}{2}$），$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}sinx，cos2x$），x∈R，設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（1）求f（x）的最小正周期及單調(diào)區(qū)間；
（2）求f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上的最大值和最小值．

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13．在棱長都為10的三棱錐V-ABC中，點O是底面ABC的中心，線段MN的長為2，一個端點M在線段VO上，另一個端點N在面ABC內(nèi)．若點T是線段MN的中點，則點T形成的軌跡的面積為2π．

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3．某同學(xué)對函數(shù)$f（x）=\frac{sinx}{x}$進行研究后，得出以下五個結(jié)論：
①函數(shù)y=f（x）的圖象是軸對稱圖形；
②函數(shù)y=f（x）對任意定義域中x值，恒有|f（x）|＜1成立；
③函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有無窮多個交點，且每相鄰兩交點間距離相等；
④當常數(shù)k滿足k≠0時，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=kx有且僅有一個公共點．
其中所有正確結(jié)論的序號是①②④．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

10．$\frac{{sin（{π-α}）cos（{4π-α}）tan（{-α+\frac{5π}{2}}）}}{{cos（{-α-π}）sin（{-α-π}）}}$的值為-$\frac{1}{tanα}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

7．位于A處的雷達觀測站，發(fā)現(xiàn)其北偏東45°，與A相距$20\sqrt{2}$海里的B處有一貨船正以勻速直線行駛，20分鐘后又測得該船位于觀測站A偏東45°+θ（0°＜θ＜45°）的C處，$AC=5\sqrt{13}$．在離觀測站A的正南方某處E，$cos∠EAC=\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$
（1）求cosθ；
（2）求該船的行駛速度v（海里/小時）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

8．設(shè)函數(shù)f（x）=cos（2x+$\frac{2π}{3}$）+2cos2x，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{3}$個單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的值域．

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