Question

1．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足$\frac{c}=\sqrt{3}sinA+cosA$．
（1）求角C的大��；
（2）若c=2，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡已知等式可得$\sqrt{3}$sinAsinC=sinAcosC，由于sinA≠0，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求tanC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，結(jié)合范圍C∈（0，π），可求C．
（2）由余弦定理，基本不等式可求ab≤$\frac{4}{2-\sqrt{3}}$，進(jìn)而利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 解：（1）∵$\frac{c}=\sqrt{3}sinA+cosA$，
∴由正弦定理可得：sinB=$\sqrt{3}$sinAsinC+sinCcosA，
又∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴$\sqrt{3}$sinAsinC=sinAcosC，
∵sinA≠0，
∴解得：tanC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵C∈（0，π），
∴C=$\frac{π}{6}$．
（2）∵c=2，C=$\frac{π}{6}$，
∴由余弦定理可得：4=a²+b²-$\sqrt{3}$ab≥（2-$\sqrt{3}$）ab，
即：ab≤$\frac{4}{2-\sqrt{3}}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{1}{2}×$$\frac{4}{2-\sqrt{3}}$×$\frac{1}{2}$=2+$\sqrt{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立，即△ABC的面積的最大值為2+$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．