Question

12．若等差數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足S₁₀=100，數(shù)列a₁，a₂-a₁，a₃-a₂，…，a_n-a_n-1的前5項和為9．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，b_n=$\frac{{a}_{n}+3}{（{n}^{2}+2n）^{2}}$，求證：T_n＜$\frac{5}{8}$．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，運用等差數(shù)列的通項公式和求和公式，得到首項和公差的方程，解方程即可得到所求通項公式；
（2）求得b_n=$\frac{2n+2}{{n}^{2}（n+2）^{2}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{（n+2）^{2}}$），運用數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，再由不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
S₁₀=100，數(shù)列a₁，a₂-a₁，a₃-a₂，…，a_n-a_n-1的前5項和為9．
可得10a₁+$\frac{1}{2}$×10×9d=100，a₅=a₁+4d=9，
解得a₁=1，d=2，a_n=2n-1；
（2）證明：b_n=$\frac{{a}_{n}+3}{（{n}^{2}+2n）^{2}}$=$\frac{2n+2}{{n}^{2}（n+2）^{2}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{（n+2）^{2}}$），
則前n項和為T_n=$\frac{1}{2}$[1-$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{25}$+$\frac{1}{16}$-$\frac{1}{36}$+…+$\frac{1}{（n-1）^{2}}$-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{（n+2）^{2}}$]
=$\frac{1}{2}$[1+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$-$\frac{1}{（n+2）^{2}}$]＜$\frac{1}{2}$×（1+$\frac{1}{4}$）=$\frac{5}{8}$．
即有T_n＜$\frac{5}{8}$．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，以及不等式的證明，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．