Question

8．已知f（x）=lnx-ax（ax+1），a∈R．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）在（0，1]內(nèi)至少有1個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)，從而確定a的范圍即可．

解答 解：（1）依題意知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
且$f'（x）=\frac{1}{x}-2{a^2}x-a=\frac{{2{a^2}x+ax-1}}{-x}=\frac{（2ax-1）（ax+1）}{-x}$，…（2分）
當(dāng)a=0時，f（x）=lnx，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；…（3分）
當(dāng)a＞0時，由f'（x）＞0得$0＜x＜\frac{1}{2a}$，由f'（x）＜0得$x＞\frac{1}{2a}$，
函數(shù)f（x）在$（0，\frac{1}{2a}）$上單調(diào)遞增，在$（\frac{1}{2a}，+∞）$上單調(diào)遞減；…（4分）
當(dāng)a＜0時，由f'（x）＞0得$0＜x＜-\frac{1}{a}$，由f'（x）＜0得$x＞-\frac{1}{a}$，
函數(shù)f（x）在$（0，-\frac{1}{a}）$上單調(diào)遞增，在$（-\frac{1}{a}，+∞）$上單調(diào)遞減．…（5分）
（2）當(dāng)a=0時，函數(shù)f（x）在（0，1]內(nèi)有1個零點(diǎn)x₀=1；…（6分）
當(dāng)a＞0時，由（1）知函數(shù)f（x）在$（0，\frac{1}{2a}）$上單調(diào)遞增，在$（\frac{1}{2a}，+∞）$上單調(diào)遞減；
①若$\frac{1}{2a}≥1$，即$0＜a≤\frac{1}{2}$時，f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，
由于當(dāng)x→0時，f（x）→-∞，且f（1）=-a²-a＜0，知函數(shù)f（x）在（0，1]內(nèi)無零點(diǎn)；…（7分）
②若$0＜\frac{1}{2a}＜1$，即$a＞\frac{1}{2}$時，f（x）在$（0，\frac{1}{2a}）$上單調(diào)遞增，在$（\frac{1}{2a}，1]$上單調(diào)遞減，
要使函數(shù)f（x）在（0，1]內(nèi)至少有1個零點(diǎn)，只需滿足$f（\frac{1}{2a}）≥0$，即$\frac{1}{2}＜a≤\frac{1}{2}{e^{\frac{4}{3}}}$；…（9分）
當(dāng)a＜0時，由（1）知函數(shù)f（x）在$（0，-\frac{1}{a}）$上單調(diào)遞增，在$（-\frac{1}{a}，+∞）$上單調(diào)遞減；
   ③若$-\frac{1}{a}≥1$，即-1≤a＜0時，f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，由于當(dāng)x→0時，f（x）→-∞，且f（1）=-a²-a＞0，
知函數(shù)f（x）在（0，]內(nèi)有1個零點(diǎn)；…（10分）
④若$0＜-\frac{1}{a}＜1$，即a＜-1時，函數(shù)f（x）在$（0，-\frac{1}{a}）$上單調(diào)遞增，在$（-\frac{1}{a}，1]$上單調(diào)遞減；
由于當(dāng)x→0時，f（x）→-∞，且當(dāng)a＜-1時，$f（-\frac{1}{a}）=ln（-\frac{1}{a}）＜0$，
知函數(shù)f（x）在（0，1]內(nèi)無零點(diǎn)；…（11分）
綜上可得：a的取值范圍是$[-1，0]∪（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}{e^{\frac{4}{3}}}]$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道綜合題．