Question

18．在△ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，$C=\frac{π}{3}$，若$\overrightarrow{OD}=a\overrightarrow{OE}+b\overrightarrow{OF}$，且D、E、F三點共線（該直線不經過O點），則△ABC周長的最小值是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{5}{4}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{9}{4}$

Answer 1

分析 利用三點共線的性質，可得a+b=1，再利用余弦定理結合基本不等式可求c的最小值，從而可得結論．

解答 解：∵$\overrightarrow{OD}=a\overrightarrow{OE}+b\overrightarrow{OF}$，且D、E、F三點共線（該直線不經過O點），
∴a+b=1（a＞0，b＞0），∴ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，
∵c²=a²+b²-2abcosC，C=$\frac{π}{3}$，
∴c²=1-3ab≥1-$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{4}$，
∴當且僅當a=b=$\frac{1}{2}$時，c取得最小值$\frac{1}{2}$，
∴△ABC周長的最小值是$\frac{3}{2}$，
故選C．

點評 本題考查向量知識的運用，考查余弦定理，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．