Question

18．已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+3cosα}\\{y=1+3sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=-t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以原點為極點，x軸非負半軸為極軸建立坐標系．
（1）求曲線C和直線l的極坐標方程；
（2）求曲線C和直線l的交點的極坐標．

Answer 1

分析 （1）先求出曲線C的普通方程，由此能求出曲線C的極坐標方程；把直線l的參數(shù)方程化為普通方程，由此能求出直線l的極坐標方程．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）^{2}+（y-1）^{2}=9}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，求出曲線C和直線l的交點的直角坐標，由此能求出曲線C和直線l的交點的極坐標．

解答 解：（1）∵曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+3cosα}\\{y=1+3sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
∴曲線C的普通方程為（x-2）²+（y-1）²=9，
即x²+y²-4x-2y=4，
∴曲線C的極坐標方程為ρ²-4ρcosθ-2ρsinθ=4，
即ρ²-2ρ（2cosθ+sinθ）=4．
∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=-t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴直線l的普通方程為x+y=0，
∴直線l的極坐標方程為ρcosθ+ρsinθ=0，即ρ（cosθ+sinθ）=0．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）^{2}+（y-1）^{2}=9}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴曲線C和直線l的交點的直角坐標為（-1，1）或（2，-2），
∴曲線C和直線l的交點的極坐標為（$\sqrt{2}$，$\frac{3π}{4}$），（2$\sqrt{2}$，$\frac{7π}{4}$）．

點評 本小題主要考查極坐標系與參數(shù)方程的相關知識，具體涉及到極坐標方程與平面直角坐標方程的互化，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉化思想，是中檔題．