Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，它的一個焦點坐標(biāo)為（

2

，0），它的長軸是短軸的

3

倍，直線y=m（m為常數(shù)）與橢圓交于A，B兩點，以線段AB為直徑作圓P，圓心為P．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若圓P與x軸相切，求圓心P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)M（x，y）是圓P上的動點，當(dāng)m變化時，求y的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）可設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，可得c=

2

，2a=

3

•2b，a²=b²+c²，解出即可．
（2）聯(lián)立

y=m x2+3y2=3

，解得（x，y）．根據(jù)圓P與x軸相切，可得|OA|=

2

|OP|，即可解出．
（3）⊙P的方程：x²+（y-m）²=3-3m²，由題意可得：-1＜m＜1，取1＞m≥0，x∈[-

3

，

3

]，因此只要求出y=m+

3-3m2

的最大值即可．

解答： 解：（1）∵橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，它的一個焦點坐標(biāo)為（

2

，0），它的長軸是短軸的

3

倍，
可設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，
∴c=

2

，2a=

3

•2b，a²=b²+c²，
解得a²=3，b²=1，c=

2

．
∴橢圓C的方程為：

x2

3

+y2=1．
（2）聯(lián)立

y=m x2+3y2=3

，解得

x= 3-3m2 y=m

，

x=- 3-3m2 y=m

．
∵圓P與x軸相切，∴|OA|=

2

|OP|，
∴

m2+3-3m2

=

2

|m|，解得m=±

3

2

．
∴P(0，±

3

2

)．
（3）⊙P的方程：x²+（y-m）²=3-3m²，
由題意可得：-1＜m＜1，
取1＞m≥0，x∈[-

3

，

3

]，
∴只要求出y=m+

3-3m2

的最大值即可．
y′=1-

3m

3-3m2

=

3-3m2 -3m

3-3m2

，
令y′=0，解得m=

1

2

，
當(dāng)m∈[0，

1

2

)時，y′＞0；當(dāng)m∈(

1

2

，1)時，y′＜0．
∴當(dāng)m=

1

2

時，函數(shù)y=m+

3-3m2

取得極大值即最大值2．

點評：本題考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．