Question

5．如表提供平羅中學(xué)某班研究性課題小組在技術(shù)改造后制作一玩具模型過程中記錄的產(chǎn)量x（個）與相應(yīng)的花費資y（百元）的幾組對照數(shù)據(jù)

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

（1）請根據(jù)如表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$；
（2）問該小組技術(shù)改造后制作10個這種玩具模型估計需要多少資金？
（附：$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-b$\overline{x}$，其中$\overline{x}$，$\overline{y}$為樣本平均值）

Answer 1

分析 （1）由題意計算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回歸直線方程的系數(shù)$\stackrel{∧}$和$\stackrel{∧}{a}$，即可寫出線性回歸方程；
（2）利用回歸直線方程計算x=10時$\stackrel{∧}{y}$的值即可．

解答 解：（1）由題意知，計算
$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$×（3+4+5+6）=4.5，
$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$×（2.5+3+4+4.5）=3.5，
$\sum_{i=1}^{4}$x_iy_i=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5，
$\sum_{i=1}^{4}$${{x}_{i}}^{2}$=3²+4²+5²+6²=86，
則回歸直線方程的系數(shù)為
$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{66.5-4×4.5×3.5}{86-4{×4.5}^{2}}$=0.7，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=3.5-0.7×4.5=0.35，
所以y關(guān)于x的線性回歸方程是$\stackrel{∧}{y}$=0.7x+0.35；
（2）利用回歸直線方程，計算x=10時，$\stackrel{∧}{y}$=0.7×10+0.35=7.35；
所以技術(shù)改造后制作10個這種玩具模型估計需要7.35百元，即735元．

點評 本題考查了線性回歸直線方程的求法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．