Question

若a，b，c∈（0，+∞），證明：

1

a

+

1

b

+

1

c

≥

2

a+b

+

2

b+c

+

2

c+a

．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：推理和證明

分析：首弦利用作差法，證得

1

2

（

1

a

+

1

b

）≥

2

a+b

，同理可證

1

2

（

1

c

+

1

b

）≥

2

b+c

，

1

2

（

1

a

+

1

c

）≥

2

c+a

；利用綜合法，同向的三式相加即可證得結論．

解答： 證明：∵a，b∈（0，+∞），
∴

1

2

（

1

a

+

1

b

）-

2

a+b

=

a+b

2ab

-

2

a+b

=

(a+b)2-4ab

2ab(a+b)

=

(a-b)2

2ab(a+b)

≥0，
∴

1

2

（

1

a

+

1

b

）≥

2

a+b

；①
同理可證，

1

2

（

1

c

+

1

b

）≥

2

b+c

；②

1

2

（

1

a

+

1

c

）≥

2

c+a

；③
①+②+③得：

1

a

+

1

b

+

1

c

≥

2

a+b

+

2

b+c

+

2

c+a

（證畢）．

點評：本題考查不等式的證明，著重考查作差法與綜合法的應用，選準突破口，證得

1

2

（

1

a

+

1

b

）≥

2

a+b

是關鍵，考查邏輯思維與推理證明的能力，屬于中檔題．