16.已知函數(shù)f(x)=x2+13x+36.
(Ⅰ)求h(x)=$\frac{1}{{\sqrt{f(x)}}}$的定義域;
(Ⅱ)對任意x>0,$\frac{f(x)}{x}$>m恒成立,求m的取值范圍.

分析 (Ⅰ)由題意可得x2+13x+36>0,運(yùn)用二次不等式的解法,即可得到所求定義域;
(Ⅱ)對任意x>0,$\frac{f(x)}{x}$>m恒成立,即為m<$\frac{{x}^{2}+13x+36}{x}$的最小值,運(yùn)用基本不等式可得右邊函數(shù)的最小值,進(jìn)而得到m的范圍.

解答 解:(Ⅰ)h(x)=$\frac{1}{{\sqrt{f(x)}}}$=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+13x+36}}$,
由x2+13x+36>0,即(x+4)(x+9)>0,
解得x>-4或x<-9,
即定義域?yàn)椋?∞,-9)∪(-4,+∞);
(Ⅱ)對任意x>0,$\frac{f(x)}{x}$>m恒成立,
即為m<$\frac{{x}^{2}+13x+36}{x}$的最小值,
由g(x)=$\frac{{x}^{2}+13x+36}{x}$(x>0),
即g(x)=x+$\frac{36}{x}$+13≥2$\sqrt{x•\frac{36}{x}}$+13=25,
當(dāng)且僅當(dāng)x=6時,取得最小值25.
則m<25.
即有m的取值范圍是(-∞,25).

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的定義域的求法,注意運(yùn)用分式分母不為0,偶次根式被開方數(shù)非負(fù),考查不等式恒成立問題的解法,注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想,運(yùn)用基本不等式求得最值,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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A.在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下,認(rèn)為打鼾與患心臟病有關(guān)
B.約有95%的打鼾者患心臟病
C.在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認(rèn)為打鼾與患心臟病有關(guān)
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