Question

4．求下列函數(shù)的定義域與值域：
（1）y=$\sqrt{1-（\frac{1}{2}）^{x}}$；
（2）y=$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$（a＞0，且a≠1）．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)成立的條件求函數(shù)的定義域，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合根式和分式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）要使函數(shù)有意義，則1-（$\frac{1}{2}$）^x≥0得（$\frac{1}{2}$）^x≤1，得x≥0，即函數(shù)的定義域為[0，+∞），
∵0≤1-（$\frac{1}{2}$）^x＜1，∴0≤$\sqrt{1-（\frac{1}{2}）^{x}}$＜1，即函數(shù)值域為[0，1），
（2）∵1+a^x＞1恒成立，∴函數(shù)的定義域為R，
∵y=$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$=$\frac{{a}^{x}+1-2}{{a}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{a}^{x}+1}$，
∵1+a^x＞1，∴0＜$\frac{1}{{a}^{x}+1}$＜1，則0＜$\frac{2}{{a}^{x}+1}$＜2，則-2＜-$\frac{2}{{a}^{x}+1}$＜0，
-1＜1-$\frac{2}{{a}^{x}+1}$＜1，即函數(shù)的值域為（-1，1）．

點評 本題主要考查函數(shù)定義域和值域的求解，根據(jù)根式函數(shù)和分式函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．