【題目】如圖，在四棱錐中，底面，，，，.

（1）求證：；

（2）若，求平面和平面所成的角（銳角）的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)線面垂直的判定定理，證明平面，進(jìn)而可得線線垂直；

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)題中條件，分別求出兩平面的法向量，求出兩向量夾角的余弦值，即可得出結(jié)果.

（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，

因?yàn)?/span>，所以，

又因?yàn)?/span>，所以四邊形是平行四邊形.

因?yàn)?/span>所以四邊形是矩形.

所以.

又

所以.

所以是直角三角形，即.

又底面，底面，

所以.

又平面，平面，且.

所以平面.

又平面，

所以.

（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，

由（1）知，，.

，

所以.

所以

所以.

設(shè)平面的法向量為，則

所以，即，

取，則，，

所以平面的一個(gè)法向量為.

又平面的一個(gè)法向量為

所以

所以平面和平面所成的角（銳角）的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知離心率為的橢圓的左頂點(diǎn)為A，且橢圓E經(jīng)過(guò)與坐標(biāo)軸不垂直的直線l與橢圓E交于C，D兩點(diǎn)，且直線AC和直線AD的斜率之積為.

（I）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）求證：直線l過(guò)定點(diǎn).

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【題目】對(duì)于函數(shù)，若存在正常數(shù)，使得對(duì)任意的，都有成立，我們稱函數(shù)為“同比不減函數(shù)”．

（1）求證：對(duì)任意正常數(shù)，都不是“同比不減函數(shù)”；

（2）若函數(shù)是“同比不減函數(shù)”，求的取值范圍；

（3）是否存在正常數(shù)，使得函數(shù)為“同比不減函數(shù)”，若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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【題目】現(xiàn)有10個(gè)不同的產(chǎn)品，其中4個(gè)次品，6個(gè)正品.現(xiàn)每次取其中一個(gè)進(jìn)行測(cè)試，直到4個(gè)次品全測(cè)完為止，若最后一個(gè)次品恰好在第五次測(cè)試時(shí)被發(fā)現(xiàn)，則該情況出現(xiàn)的概率是_______.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】隨著金融市場(chǎng)的發(fā)展，越來(lái)越多人選擇投資“黃金”作為理財(cái)?shù)氖侄�，下面�?/span>A市把黃金作為理財(cái)產(chǎn)品的投資人的年齡情況統(tǒng)計(jì)如下圖所示.

（1）求圖中a的值；

（2）求把黃金作為理財(cái)產(chǎn)品的投資者的年齡的中位數(shù)以及平均數(shù)；（結(jié)果用小數(shù)表示，小數(shù)點(diǎn)后保留兩位有效數(shù)字）

（3）以頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從所有投資者中隨機(jī)抽取4人，記年齡在的人數(shù)為X，求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，有一塊平行四邊形綠地，經(jīng)測(cè)量百米，百米，，擬過(guò)線段上一點(diǎn)設(shè)計(jì)一條直路（點(diǎn)在四邊形的邊上，不計(jì)路的寬度），將綠地分成兩部分，且右邊面積是左邊面積的3倍，設(shè)百米，百米．

（1）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，試確定點(diǎn)的位置；

（2）試求的值，使路的長(zhǎng)度最短．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓上兩個(gè)不同的點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱．

（1）若已知，為橢圓上動(dòng)點(diǎn)，證明：；

（2）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）求面積的最大值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】我市為改善空氣環(huán)境質(zhì)量，控制大氣污染，政府相應(yīng)出臺(tái)了多項(xiàng)改善環(huán)境的措施.其中一項(xiàng)是為了減少燃油汽車(chē)對(duì)大氣環(huán)境污染.從2018年起大力推廣使用新能源汽車(chē)，鼓勵(lì)市民如果需要購(gòu)車(chē)，可優(yōu)先考慮選用新能源汽車(chē).政府對(duì)購(gòu)買(mǎi)使用新能源汽車(chē)進(jìn)行購(gòu)物補(bǔ)貼，同時(shí)為了地方經(jīng)濟(jì)發(fā)展，對(duì)購(gòu)買(mǎi)本市企業(yè)生產(chǎn)的新能源汽車(chē)比購(gòu)買(mǎi)外地企業(yè)生產(chǎn)的新能源汽車(chē)補(bǔ)貼高.所以市民對(duì)購(gòu)買(mǎi)使用本市企業(yè)生產(chǎn)的新能源汽車(chē)的滿意度也相應(yīng)有所提高.有關(guān)部門(mén)隨機(jī)抽取本市本年度內(nèi)購(gòu)買(mǎi)新能源汽車(chē)的戶，其中有戶購(gòu)買(mǎi)使用本市企業(yè)生產(chǎn)的新能源汽車(chē)，對(duì)購(gòu)買(mǎi)使用新能源汽車(chē)的滿意度進(jìn)行調(diào)研，滿意度以打分的形式進(jìn)行.滿分分，將分?jǐn)?shù)按照分成5組，得如下頻率分布直方圖.

（1）若本次隨機(jī)抽取的樣本數(shù)據(jù)中購(gòu)買(mǎi)使用本市企業(yè)生產(chǎn)的新能源汽車(chē)的用戶中有戶滿意度得分不少于分，把得分不少于分為滿意.根據(jù)提供的條件數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表.

滿意

不滿意

總計(jì)

購(gòu)本市企業(yè)生產(chǎn)的新能源汽車(chē)戶數(shù)

購(gòu)?fù)獾仄髽I(yè)生產(chǎn)的新能源汽車(chē)戶數(shù)

總計(jì)

并判斷是否有的把握認(rèn)為購(gòu)買(mǎi)使用新能源汽車(chē)的滿意度與產(chǎn)地有關(guān)？

（2）以頻率作為概率，政府對(duì)購(gòu)買(mǎi)使用新能源汽車(chē)的補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)是：購(gòu)買(mǎi)本市企業(yè)生產(chǎn)的每臺(tái)補(bǔ)貼萬(wàn)元，購(gòu)買(mǎi)外地企業(yè)生產(chǎn)的每臺(tái)補(bǔ)貼萬(wàn)元.但本市本年度所有購(gòu)買(mǎi)新能源汽車(chē)的補(bǔ)貼每臺(tái)的期望值不超過(guò)萬(wàn)元.則購(gòu)買(mǎi)外地產(chǎn)的新能源汽車(chē)每臺(tái)最多補(bǔ)貼多少萬(wàn)元？

附：，其中.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】關(guān)于函數(shù)，給出以下四個(gè)命題：（1）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減且沒(méi)有最值；（2）方程一定有實(shí)數(shù)解；（3）如果方程（為常數(shù)）有解，則解得個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)；（4）是偶函數(shù)且有最小值.其中假命題的序號(hào)是____________.

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