【題目】
已知, ,函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng), 時(shí),解關(guān)于的不等式;
(Ⅱ)若函數(shù)的最大值為2,求證: .
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)見(jiàn)解析
【解析】試題分析:
(Ⅰ)由題意可得.零點(diǎn)分段求解不等式可得不等式的解集為;
(Ⅱ)由絕對(duì)值三角不等式可得,則.由均值不等式的結(jié)論可得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.
證法二:由題意可得,零點(diǎn)分段可得,結(jié)合函數(shù)圖像可得.由題意結(jié)合均值不等式的結(jié)論即可證得題中的結(jié)論.
試題解析:
(Ⅰ)當(dāng)時(shí), .
不等式為.
①當(dāng)時(shí),因?yàn)椴坏仁綖?/span>,所以不等式成立,
此時(shí)符合;符合要求的不等式的解集為;
②當(dāng)時(shí),因?yàn)椴坏仁綖?/span>,所以,
此時(shí),符合不等式的解集為;
③當(dāng)時(shí),因?yàn)椴坏仁綖?/span>不成立,解集為空集;
綜上所述,不等式的解集為.
(Ⅱ)由絕對(duì)值三角不等式可得
, ,
∴.
∴,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.
另解:(Ⅱ)因?yàn)?/span>, ,所以,
所以函數(shù)
,
所以函數(shù)的圖象是左右兩條平行于軸的射線和中間連結(jié)成的線段,
所以函數(shù)的最大值等于,所以.
∵,
∴.
或者 ,
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),“等號(hào)”成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓E: 的焦點(diǎn)在x軸上,A是E的左頂點(diǎn),斜率為k(k>0)的直線交E于A,M兩點(diǎn),點(diǎn)N在E上,MA⊥NA.
(1)當(dāng)t=4,|AM|=|AN|時(shí),求△AMN的面積;
(2)當(dāng)2|AM|=|AN|時(shí),求k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著“中華好詩(shī)詞”節(jié)目的播出,掀起了全民誦讀傳統(tǒng)詩(shī)詞經(jīng)典的熱潮.某大學(xué)社團(tuán)為調(diào)查大學(xué)生對(duì)于“中華詩(shī)詞”的喜好,在該校隨機(jī)抽取了40名學(xué)生,記錄他們每天學(xué)習(xí)“中華詩(shī)詞”的時(shí)間,并整理得到如下頻率分布直方圖:
根據(jù)學(xué)生每天學(xué)習(xí)“中華詩(shī)詞”的時(shí)間,可以將學(xué)生對(duì)于“中華詩(shī)詞”的喜好程度分為三個(gè)等級(jí) :
學(xué)習(xí)時(shí)間 (分鐘/天) | |||
等級(jí) | 一般 | 愛(ài)好 | 癡迷 |
(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ) 從該大學(xué)的學(xué)生中隨機(jī)選出一人,試估計(jì)其“愛(ài)好”中華詩(shī)詞的概率;
(Ⅲ) 假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點(diǎn)值代替,試估計(jì)樣本中40名學(xué)生每人每天學(xué)習(xí)“中華詩(shī)詞”的時(shí)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直角梯形中, , , ,等腰梯形中, , , ,且平面平面.
(1)求證: 平面;
(2)若與平面所成角為,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線,以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸,取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系,已知直線.
(1)將曲線上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍、2倍后得到曲線.試寫出直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的參數(shù)方程;
(2)在曲線上求一點(diǎn),使點(diǎn)到直線的距離最大,并求出此最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示的自動(dòng)通風(fēng)設(shè)施.該設(shè)施的下部是等腰梯形,其中為2米,梯形的高為1米, 為3米,上部是個(gè)半圓,固定點(diǎn)為的中點(diǎn). 是由電腦控制可以上下滑動(dòng)的伸縮橫桿(橫桿面積可忽略不計(jì)),且滑動(dòng)過(guò)程中始終保持和平行.當(dāng)位于下方和上方時(shí),通風(fēng)窗的形狀均為矩形(陰影部分均不通風(fēng)).
(1)設(shè)與之間的距離為(且)米,試將通風(fēng)窗的通風(fēng)面積(平方米)表示成關(guān)于的函數(shù);
(2)當(dāng)與之間的距離為多少米時(shí),通風(fēng)窗的通風(fēng)面積取得最大值?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在極坐標(biāo)系中,圓的極坐標(biāo)方程為: .若以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系.
(Ⅰ)求圓的參數(shù)方程;
(Ⅱ)在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)是圓上動(dòng)點(diǎn),試求的最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)的直角坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)有極值,且在處的切線與直線垂直.
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)是否存在實(shí)數(shù),使得函數(shù)的極小值為.若存在,求出實(shí)數(shù)的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是圓柱體的母線, 是底面圓的直徑, 分別是的中點(diǎn), .
(1)求證: 平面;
(2)求點(diǎn)到平面的距離;
(3)求二面角的大小.
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