Question

16．已知等軸雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是（$\sqrt{2}$，0），直線y=kx+b與雙曲線C恰有1個(gè)交點(diǎn)，以|k|，|b|，1為邊長(zhǎng)的三角形的形狀是（　�。�

• A． 等腰三角形
• B． 直角三角形
• C． 等腰或直角三角形
• D． 等腰直角三角形

Answer 1

分析 根據(jù)條件求出等軸雙曲線的方程，聯(lián)立直線和雙曲線，利用直線和雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，得到k，b的關(guān)系，進(jìn)行判斷即可．

解答 解：∵等軸雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是（$\sqrt{2}$，0），
∴設(shè)等軸雙曲線為x²-y²=m，（m＞0），c=$\sqrt{2}$，
則標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{m}-\frac{{y}^{2}}{m}$=1，
則a²=b²=m，
則c²=a²+b²=2m=2，
則m=1，
則等軸雙曲線為x²-y²=1，
將y=kx+b代入x²-y²=1得（k²-1）x²+2kbx+1+b²=0，
當(dāng)k²-1=0，即k=±1時(shí)，方程有一個(gè)解，滿足條件．
三角形的邊長(zhǎng)為1，|b|，1，此時(shí)為等腰三角形，
當(dāng)k²-1≠0時(shí)，若方程有一個(gè)解，則判別式△=0，
即4k²b²-4（k²-1）（1+b²）=0，
整理得1+b²=k²，
則三角形的邊長(zhǎng)為|k|，|b|，1此時(shí)為直角三角形，
綜上三角形的形狀為等腰或直角三角形，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)條件求出等軸雙曲線的方程，結(jié)合直線和雙曲線的位置關(guān)系求出，k，b的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．