Question

已知函數(shù)f（x）=x|x﹣a|﹣lnx

（1）若a=1，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]的最大值；

（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（3）若f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍

Answer 1

 解：（1）若a=1，則f（x）=x|x﹣1|﹣lnx．當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，f（x）=x²﹣x﹣lnx，

，所以f（x）在[1，e]上單調(diào)增，

∴．

（2）由于f（x）=x|x﹣a|﹣lnx，x∈（0，+∞）．

（ⅰ）當(dāng)a≤0時(shí)，則f（x）=x²﹣ax﹣lnx，，

令f′（x）=0，得（負(fù)根舍去），

且當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（x₀，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，

所以f（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

（ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，①當(dāng)x≥a時(shí)，，

令f′（x）=0，得（舍），

若，即a≥1，則f′（x）≥0，所以f（x）在（a，+∞）上單調(diào)增；

若，即0＜a＜1，則當(dāng)x∈（0，x₁）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（x₁，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，

所以f（x）在區(qū)間上是單調(diào)減，在上單調(diào)增．

②當(dāng)0＜x＜a時(shí)，，

令f′（x）=0，得﹣2x²+ax﹣1=0，記△=a²﹣8，若△=a²﹣8≤0，即，則f′（x）≤0，

故f（x）在（0，a）上單調(diào)減；若△=a²﹣8＞0，即，

則由f′（x）=0得，，且0＜x₃＜x₄＜a，

當(dāng)x∈（0，x₃）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（x₃，x₄）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（x₄，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，

所以f（x）在區(qū)間上是單調(diào)減，在上單調(diào)增；在上單調(diào)減．

綜上所述，當(dāng)a＜1時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；

當(dāng)時(shí)，f（x）單調(diào)遞減區(qū)間是（0，a），單調(diào)的遞增區(qū)間是（a，+∞）；

當(dāng)時(shí)，f（x）單調(diào)遞減區(qū)間是（0，）和，單調(diào)的遞增區(qū)間是和（a，+∞）．

（3）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閤∈（0，+∞）．由f（x）＞0，得．*

（�。┊�(dāng)x∈（0，1）時(shí)，|x﹣a|≥0，，不等式*恒成立，所以a∈R；

（ⅱ）當(dāng)x=1時(shí)，|1﹣a|≥0，，所以a≠1；      

（ⅲ）當(dāng)x＞1時(shí)，不等式*恒成立等價(jià)于恒成立或恒成立．

令，則．

因?yàn)閤＞1，所以h'（x）＞0，從而h（x）＞1．

因?yàn)?sub>恒成立等價(jià)于a＜（h（x））_min，所以a≤1．

令，則．

再令e（x）=x²+1﹣lnx，則在x∈（1，+∞）上恒成立，e（x）在x∈（1，+∞）上無(wú)最大值．

綜上所述，滿足條件的a的取值范圍是（﹣∞，1）．