Question

6．已知拋物線(xiàn)y=ax²+2x-a-1（a∈R），恒過(guò)第三象限上一定點(diǎn)A，且點(diǎn)A在直線(xiàn)3mx+ny+1=0（m＞0，n＞0）上，則$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的最小值為（　�。�

• A． 4
• B． 12
• C． 24
• D． 36

Answer 1

分析 拋物線(xiàn)y=ax²+2x-a-1（a∈R），恒過(guò)第三象限上一定點(diǎn)A，得到A（-1，-3），再把點(diǎn)A代入直線(xiàn)方程得到m+n=$\frac{1}{3}$，再把“1”整體代入所求的式子，利用基本不等式求出最小值．

解答 解：拋物線(xiàn)y=ax²+2x-a-1（a∈R），恒過(guò)第三象限上一定點(diǎn)A，
∴A（-1，-3），
∴$m+n=\frac{1}{3}$，
又$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=$\frac{3（m+n）}{m}+\frac{3（m+n）}{n}$=$6+3（\frac{n}{m}+\frac{m}{n}）$$≥6+6\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{m}{n}$=12，當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)等號(hào)成立．
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的應(yīng)用，利用拋物線(xiàn)的圖象過(guò)定點(diǎn)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再由“1”的整體代換湊出積為定值，利用基本不等式進(jìn)行求解，注意“一正、二定、三相等”的驗(yàn)證．