Question

16．如圖，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AD⊥平面BC₁；
（Ⅱ）求證：A₁B∥平面AC₁D．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由CC₁⊥平面ABC．可證CC₁⊥AD，由AB=AC，D為BC中點(diǎn)，可證AD⊥BC，即可證明AD⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）連結(jié)A₁C，設(shè)A₁C∩AC₁=E，連結(jié)DE．可得E為A₁C中點(diǎn)，由D為BC中點(diǎn)，可證DE∥A₁B，即可證明A₁B∥平面AC₁D．

解答 證明：（Ⅰ） 在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC．
因?yàn)锳D?平面ABC，所以CC₁⊥AD．   …（2分）
因?yàn)锳B=AC，D為BC中點(diǎn)，所以AD⊥BC．…（4分）
因?yàn)锽C?平面BB₁C₁C，CC₁?平面BB₁C₁C，BC∩CC₁=C，
所以AD⊥平面BB₁C₁C-------------------------------------（6分）
（Ⅱ）連結(jié)A₁C，設(shè)A₁C∩AC₁=E，連結(jié)DE．
因?yàn)樵谥比�棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形AA₁C₁C為平行四邊形，
所以E為A₁C中點(diǎn)． …（10分）
因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，所以DE∥A₁B．…（12分）
因?yàn)镈E?平面AC₁D，A₁B?平面AC₁D，
所以A₁B∥平面AC₁D----------------------------------------（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．