Question

1．已知f（x）=log_ax，g（x）=log_a（2x+t-2）²，（a＞0，a≠1，t∈R）．
（1）當(dāng)t=4，x∈[1，2]時F（x）=g（x）-f（x）有最小值為2，求a的值；
（2）當(dāng)0＜a＜1，x∈[1，2]時，有f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．
（備注：函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增）．

Answer 1

分析 （1）化簡成函數(shù)，可得函數(shù)是對數(shù)的復(fù)合函數(shù)，對底數(shù)進(jìn)行討論，利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
（2）要使f（x）≥g（x）恒成立，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，分離參數(shù)，可求實數(shù)t的取值范圍．

解答 解：由題意：f（x）=log_ax，g（x）=log_a（2x+t-2）²，（a＞0，a≠1，t∈R）．
那么：F（x）=g（x）-f（x）=log_a（2x+t-2）²-log_ax=log_a$\frac{（2x+t-2）^{2}}{x}$，
當(dāng)t=4時，F(xiàn)（x）=$lo{g}_{a}\frac{4（x+1）^{2}}{x}$，x∈[1，2]，
設(shè)h（x）=$\frac{4（x+1）^{2}}{x}$=$4（x+\frac{1}{x}+2）$，x∈[1，2]，則：F（x）=log_ah（x）．
由于y=x+$\frac{1}{x}$在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（x）在x∈[1，2]上是增函數(shù)．
∴h（x）的最大值為h（2）_max=18，
h（x）的最小值為h（1）_min=16，
當(dāng)0＜a＜1時，F(xiàn)（x）是減函數(shù)，F(xiàn)（x）的最小值為F（x）_min=log_a18=2，
解得：a=$3\sqrt{2}$（不符合）
當(dāng)a＞1時，F(xiàn)（x）是增函數(shù)，F(xiàn)（x）的最小值為F（x）_min=log_a16=2，
解得：a=4，滿足題意．
因此a的值為4．
（2）當(dāng)0＜a＜1，x∈[1，2]時，有f（x）≥g（x）恒成立，
那么：log_ax≥log_a（2x+t-2）²恒成立，即$\sqrt{x}≤（2x+t-2）$在x∈[1，2]時恒成立
∴t≥-2x$+\sqrt{x}$+2．
令u（x）=-2x$+\sqrt{x}$+2=-2（$\sqrt{x}-\frac{1}{4}$）²+$\frac{17}{8}$，
∵x∈[1，2]，
∴$\sqrt{x}∈[1，\sqrt{2}]$
當(dāng)$\sqrt{x}=1$時，u（x）取得最大值為u（x）_max=u（1）=1
故得實數(shù)t的取值范圍是[1，+∞）．

點評 本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的值域求法以及利用單調(diào)性解恒等式成立的問題，屬于中檔題．