Question

設(shè)F（1，0），點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)P在y軸上，且

MN

=2

MP

，

PM

⊥

PF

．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)N的軌跡C的方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₃，y₃）是曲線C上的點(diǎn)，且|

AF

|，|

BF

|，|

DF

|成等差數(shù)列，當(dāng)AD的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)E（3，0）時(shí)，求B點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)且

MN

=2

MP

，可得P為MN的中點(diǎn)，利用

PM

⊥

PF

，可得

PM

•

PF

=0，從而可得點(diǎn)N的軌跡C的方程；
（2）先根據(jù)拋物線的定義可知|

AF

|=x₁+

p

2

，|

BF

|=x₂+

p

2

，|

DF

|=x₃+

p

2

，利用|

AF

|，|

BF

|，|

DF

|成等差數(shù)列，可得x₁+x₃=2x₂，確定AD的中垂線方程，利用AD的中點(diǎn)在直線上，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)．

解答： 解：（1）設(shè)N（x，y），則由

MN

=2

MP

，得P為MN的中點(diǎn)，
所以M（-x，0），P（0，

y

2

）
又

PM

⊥

PF

，∴

PM

•

PF

=0
∴y²=4x（x≠0）；
（2）由（1）知F（1，0）為曲線C的焦點(diǎn)，由拋物線定義知拋物線上任一點(diǎn)P₀（x₀，y₀）到F的距離等于其到準(zhǔn)線的距離，即|P₀F|=x₀+

p

2

故|

AF

|=x₁+

p

2

，|

BF

|=x₂+

p

2

，|

DF

|=x₃+

p

2

，
又|

AF

|，|

BF

|，|

DF

|成等差數(shù)列
∴x₁+x₃=2x₂，
∵直線AD的斜率k_AD=

4

y1+y3

∴AD的中垂線方程為y=-

y1+y3

4

（x-3）
又AD的中點(diǎn)（

x1+x3

2

，

y1+y3

2

）在直線上，代入上式，得

x1+x3

2

=1，
∴x₂=1
故所求點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，±2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查求軌跡方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查數(shù)列知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用好向量，挖掘隱含，屬于中檔題．