Question

已知圓C的方程為x²+y²-6x+4y-3=0，直線l與直線3x+4y-19=0關(guān)于點(diǎn)A（-1，2）對(duì)稱．
（Ⅰ）求圓C的圓心坐標(biāo)和半徑；
（Ⅱ）求直線l的方程；
（Ⅲ）求直線l被圓C所截的弦長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）化圓的一般式方程為標(biāo)準(zhǔn)式，則圓C的圓心坐標(biāo)和半徑可求；
（Ⅱ）設(shè)直線l上任意一點(diǎn)P（x，y），求出P點(diǎn)關(guān)于A的對(duì)稱點(diǎn)，代入直線3x+4y-19=0后整理即可得到答案；
（Ⅲ）由點(diǎn)到直線的距離公式求出弦心距，利用勾股定理求弦長(zhǎng)．

解答：解：（Ⅰ）由圓的方程x²+y²-6x+4y-3=0可得
（x-3）²+（y+2）²=16．
所以圓心坐標(biāo)為（3，-2），半徑為4．
（Ⅱ）設(shè)直線l上任意一點(diǎn)P（x，y），則P關(guān)于A（-1，2）的對(duì)稱點(diǎn)Q（-2-x，4-y）
由點(diǎn)Q在已知直線上，代入直線方程得3（-2-x）+4（4-y）-19=0，
整理得3x+4y+9=0．
故所求直線方程為3x+4y+9=0．
（Ⅲ）圓心到直線l的距離d=

|9-8+9|

5

=2，
則弦長(zhǎng)為2

42-22

=4

3

．
故直線l交圓C所得的弦長(zhǎng)為4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓的方程的應(yīng)用，訓(xùn)練了代入法求曲線方程，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，是中檔題．