【題目】如圖所示,三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是邊長為2正三角形,D是A1C1的中點(diǎn),且AA1⊥平面ABC,AA1=3.
(Ⅰ)求證:A1B∥平面B1DC;
(Ⅱ)求二面角D﹣B1C﹣C1的余弦值.
【答案】證明:(Ⅰ)連結(jié)BC1,B1C,交于點(diǎn)O,連結(jié)OD,
∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是邊長為2正三角形,D是A1C1的中點(diǎn),
∴OD∥A1B,
∵A1B平面B1DC,OD平面B1DC,
∴A1B∥平面B1DC.
(Ⅱ)∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是邊長為2正三角形,D是A1C1的中點(diǎn),且AA1⊥平面ABC,AA1=3.
∴以D為原點(diǎn),DC1為x軸,DB1為y軸,過D作平面A1B1C1的垂線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則D(0,0,0),B1(0, ,0),C(1,0,3),C1(1,0,0),
=(﹣1, ,﹣3), =(﹣1,0,﹣3), =(0,0,﹣3),
設(shè)平面B1DC的法向量 =(x,y,z),
則 ,取z=1,得 =(﹣3,0,1),
設(shè)平面B1CC1的法向量 =(a,b,c),
則 ,取b=1,得 =( ),
設(shè)二面角D﹣B1C﹣C1的平面角為θ,
則cosθ= = = .
∴二面角D﹣B1C﹣C1的余弦值為 .
【解析】(Ⅰ)連結(jié)BC1,B1C,交于點(diǎn)O,連結(jié)OD,則OD∥A1B,由此能證明A1B∥平面B1DC.(Ⅱ)以D為原點(diǎn),DC1為x軸,DB1為y軸,過D作平面A1B1C1的垂線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角D﹣B1C﹣C1的余弦值.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且S5=a5+a6=25.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若不等式2Sn+8n+27>(﹣1)nk(an+4)對所有的正整數(shù)n都成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB=BE=BC=2AD=2,且AB⊥BE,∠DAB=60°,AD∥BC,BE⊥AD,
(Ⅰ)求證:面ADE⊥面 BDE;
(Ⅱ)求直線AD與平面DCE所成角的正弦值..
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=|x+a|,g(x)=|x+3|﹣x,記關(guān)于x的不等式f(x)<g(x)的解集為M.
(1)若a﹣3∈M,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若[﹣1,1]M,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )的最小正周期為4π,且對x∈R,有f(x)≤f( )成立,則關(guān)于函數(shù)f(x)的下列說法中正確的是( )
①φ=
②函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣π,π]上遞減;
③把g(x)=sin 的圖象向左平移 得到f(x)的圖象;
④函數(shù)f(x+ )是偶函數(shù).
A.①③
B.①②
C.②③④
D.①④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)集合A={x1 , x2 , x3 , x4},xi∈{﹣1,0,1},i={1,2,3,4},那么集合A中滿足條件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素個(gè)數(shù)為( )
A.60
B.65
C.80
D.81
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)核素養(yǎng)與抽象(能力指標(biāo)x)、推理(能力指標(biāo)y)、建模(能力指標(biāo)z)的相關(guān)性,并將它們各自量化為1、2、3三個(gè)等級,再用綜合指標(biāo)w=x+y+z的值評定學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);若w≥7,則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為一級;若5≤w≤6,則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為二級;若3≤w≤4,則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為三級,為了了解某校學(xué)生的數(shù)學(xué)核素養(yǎng),調(diào)查人員隨機(jī)訪問了某校10名學(xué)生,得到如下結(jié)果:
學(xué)生編號 | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 | A7 | A8 | A9 | A10 |
(x,y,z) | (2,2,3) | (3,2,3) | (3,3,3) | (1,2,2) | (2,3,2) | (2,3,3) | (2,2,2) | (2,3,3) | (2,1,1) | (2,2,2) |
(1)在這10名學(xué)生中任取兩人,求這兩人的建模能力指標(biāo)相同的概率;
(2)從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級是一級的學(xué)生中任取一人,其綜合指標(biāo)為a,從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級不是一級的學(xué)生中任取一人,其綜合指標(biāo)為b,記隨機(jī)變量X=a﹣b,求隨機(jī)變量X的分布列及其數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)=|x﹣a|,a∈R
(Ⅰ)當(dāng)a=5,解不等式f(x)≤3;
(Ⅱ)當(dāng)a=1時(shí),若x∈R,使得不等式f(x﹣1)+f(2x)≤1﹣2m成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等腰三角形ABC中,已知|AB|=|AC|=1,∠A=120°,E,F(xiàn)分別是AB,AC上的點(diǎn),且 ,(其中λ,μ∈(0,1)),且λ+4μ=1,若線段EF,BC的中點(diǎn)分別為M,N,則 的最小值為 .
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