Question

已知數列{a_n}的首項a₁=a，前n項和為S_n，且-a₂，S_n，2a_n+1成等差．
（Ⅰ）試判斷{a_n}是否成等比數列，并說明理由；
（Ⅱ）當a＞0時，數列{b_n}滿足b₁=

1

a

，且b_n=

an

(an-a)(an+1-a)

（n≥2）．記數列{b_n}的前n項和為T_n，求證：1≤aT_n＜2．

Answer 1

考點：數列的求和,等比數列的性質

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）2S_n=-a₂+2a_n+1⇒當n≥2時，2S_n-1=-a₂+2a_n，兩式相減，可得

an+1

an

=2（n≥2），驗證可得n=1時也滿足

an+1

an

=2，從而知{a_n}是首項a₁=2，公比為2的等比數列，于是可得數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用裂項法易求b_n=

1

a

（

1

2n-1-1

-

1

2n-1

），從而可求T_n=

1

a

（2-

1

2n-1

），于是可得aT_n=2-

1

2n-1

，利用n≥2，即可證得1≤aT_n＜2．

解答： 解：（Ⅰ）∵2S_n=-a₂+2a_n+1，
∴當n≥2時，2S_n-1=-a₂+2a_n，
兩式相減得2a_n=2a_n+1-2a_n（n≥2），
∴

an+1

an

=2；
又當n=1時，2a₁=-a₂+2a₂，得a₂=2a₁，
當a₁=a=0時，此時a_n=0，{a_n}不是等比數列，
當a≠0時，

an+1

an

=2，此時{a_n}是首項a₁=a，公比為2的等比數列，
∴a_n=a•2^n-1．
（Ⅱ）∵b₁=

1

a

，a_n=a•2^n-1，
當n≥2時，b_n=

a•2n-1

(a•2n-1-a)(a•2n-a)

=

1

a

（

1

2n-1-1

-

1

2n-1

），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

a

[1+（

1

21-1

-

1

22-1

）+（

1

22-1

-

1

23-1

）+…+（

1

2n-1-1

-

1

2n-1

）]
=

1

a

（2-

1

2n-1

）．
∴aT_n=2-

1

2n-1

，
∵n≥2，∴2ⁿ≥4，∴aT_n≥

5

3

＞1，又

1

2n-1

＞0，∴aT_n＜2．
而當n=1時，aT_n=1，
故1≤aT_n＜2．

點評：本題考查數列的求和，著重考查等差關系的確定與裂項法求和，考查分類討論思想與推理運算及證明能力，屬于難題．