Question

13．在△ABC中，$\overrightarrow{AM}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$
（Ⅰ）求△ABM與△ABC的面積之比
（Ⅱ）若N為AB中點(diǎn)，$\overrightarrow{AM}$與$\overrightarrow{CN}$交于點(diǎn)P且$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$（x，y∈R），求x+y的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\overrightarrow{AM}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$⇒3$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{MC}$，即點(diǎn)M在線段BC上的靠近B的四等分點(diǎn)即可，
（Ⅱ）$\overrightarrow{AP}∥\overrightarrow{AM}$設(shè)$\overrightarrow{AP}$=$λ\overrightarrow{AM}$=$\frac{3λ}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{λ}{4}\overrightarrow{AC}=\frac{3λ}{2}\overrightarrow{AN}+\frac{λ}{4}\overrightarrow{AC}$；$\frac{3λ}{2}+\frac{λ}{4}=1，解得λ=\frac{4}{7}$．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，$\overrightarrow{AM}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$⇒$4\overrightarrow{AM}-3\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$⇒3$（\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}）=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AM}$
⇒3$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{MC}$，即點(diǎn)M在線段BC上的靠近B的四等分點(diǎn)，
∴△ABM與△ABC的面積之比為$\frac{1}{4}$．
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{AM}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$（x，y∈R），$\overrightarrow{AP}∥\overrightarrow{AM}$，
∴設(shè)$\overrightarrow{AP}$=$λ\overrightarrow{AM}$=$\frac{3λ}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{λ}{4}\overrightarrow{AC}=\frac{3λ}{2}\overrightarrow{AN}+\frac{λ}{4}\overrightarrow{AC}$；
∵三點(diǎn)N、P、C共線，∴$\frac{3λ}{2}+\frac{λ}{4}=1，解得λ=\frac{4}{7}$，$x=\frac{3λ}{4}=\frac{3}{7}，y=\frac{1}{4}λ=\frac{1}{7}$，
x+y=$\frac{4}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的線性運(yùn)算，利用三點(diǎn)共線，系數(shù)和為1，是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．