Question

函數(shù)f（x）=x²-alnx（a∈R）
（1）討論f（x）的單調(diào)性
（2）設(shè)函數(shù)Y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線為l，若l在點A處穿過函數(shù)y=f（x）的圖象（即動點在點A附近沿曲線y=f（x）運動，經(jīng)過點A時，從l的一側(cè)進入另一側(cè)），求a的值
（3）若a＞0，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=ax有且只有一個公共點，求a的值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分當a≤0時和當a＞0時討論原函數(shù)的單調(diào)性；
（2）求出f（x）在點A（1，f（1））處的切線l的方程，把l在點A處穿過函數(shù)y=f（x）的圖象轉(zhuǎn)化為函數(shù)h（x）=f（x）-[（2-a）（x-1）+1]有極值點1=-

a

2

，則a的值可求；
（3）由題意知方程x²-alnx-ax=0有唯一實數(shù)解，構(gòu)造函數(shù)g(x)=2x-

a

x

-a=

2x2-ax-a

x

，利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，求得極小值點x2=

a+ a2+8a

4

，把使方程f（x）=ax有唯一實數(shù)解轉(zhuǎn)化為

g′(x)=0 g(x)=0

，由此求得

a+ a2+8a

4

=1，從而得到a的值．

解答： 解：（1）由已知得，f′(x)=2x-

a

x

=

2x2-a

x

，且函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
當a≤0時，f′（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
當a＞0時，令f′（x）=0，得x=-

a 2

（舍），x=

a 2

．
當x∈(0，

a 2

)時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當x∈(

a 2

，+∞)時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
綜上，a≤0時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
a＞0時，f（x）在(0，

a 2

)上單調(diào)遞減，在(

a 2

，+∞)上單調(diào)遞增；
（2）由f（1）=1，f′（1）=2-a知，f（x）在點A（1，f（1））處的切線l的方程為：
y=（2-a）（x-1）+1．
∵l在點A處穿過函數(shù)y=f（x）的圖象，
∴令h（x）=f（x）-[（2-a）（x-1）+1]=x²-alnx-[（2-a）（x-1）+1]．
則h（x）在x=1兩邊附近的函數(shù)值異號，則x=1不是函數(shù)的極值點．
而h′(x)=2x-

a

x

-(2-a)=

(2x+a)(x-1)

x

．
若1≠-

a

2

，則x=1和x=-

a

2

都是函數(shù)的極值點，
∴1=-

a

2

，即a=-2；
（3）由題意知方程x²-alnx-ax=0有唯一實數(shù)解，
設(shè)g(x)=2x-

a

x

-a=

2x2-ax-a

x

．
令g′（x）=0，解得x1=

a- a2+8a

4

（舍），x2=

a+ a2+8a

4

．
當x∈（0，x₂）時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
當x∈（x₂，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增．
∴當x=x₂時，g（x）取得最小值g（x₂）．
則要使方程f（x）=ax有唯一實數(shù)解，只有

g′(x)=0 g(x)=0

，
即

2x22-ax2-a=0 x22-alnx2-ax2=0

，即2alnx₂+ax₂-a=0．
∵a＞0，
∴2lnx₂+x₂-1=0．
設(shè)u（x）=2lnx+x-1，則x＞0時，u′(x)=

2

x

+1＞0，u（x）單調(diào)遞增，
∴u（x）至多有一解，
又∵u（1）=0，
∴方程2alnx₂+ax₂-a=0的解為x₂=1．
即

a+ a2+8a

4

=1，解得a=1．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查分類討論能力，新定義理解及應(yīng)用解決能力、推理論證能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，是壓軸題．