Question

7．如圖，ABCD是直角梯形，AB∥CD，BC⊥CD，CF⊥平面ABCD，DE∥CF，AD⊥DB．
（1）求證：BD⊥AE．
（2）若DE=1，CB=CD=CF=2，求二面角E-BD-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出BD⊥ED，AD⊥DB，從而BD⊥平面ADE，由此能證明BD⊥AE．
（2）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DB為y軸，DF為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角E-BD-F的余弦值．

解答 證明：（1）∵ABCD是直角梯形，CF⊥平面ABCD，DE∥CF，
∴ED⊥平面ABCD，又BD?平面ABCD，∴BD⊥ED，
∵AD⊥DB，AD∩ED=D，
∴BD⊥平面ADE，
∵AE?平面ADE，∴BD⊥AE．
解：（2）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DB為y軸，DF為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
D（0，0，0），B（0，2$\sqrt{2}$，0），F(xiàn)（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，2），
$\overrightarrow{DB}$=（0，2$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{DF}$=（-$\sqrt{2}，\sqrt{2}$，2），
設(shè)平面BDF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=2\sqrt{2}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=-\sqrt{2}x+\sqrt{2}y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}，0，1$），
平面BDE的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
設(shè)二面角E-BD-F的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴二面角E-BD-F的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．