Question

4．若函數(shù)f（x）滿足$f（x）+1=\frac{1}{f（x+1）}$，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x．若在區(qū)間（-1，1]內(nèi)，g（x）=f（x）-mx-2m有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． 0＜m＜$\frac{1}{3}$
• B． 0＜m≤$\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{3}$＜m＜1
• D． $\frac{1}{3}$＜m≤1

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）-mx-2m=0，即有f（x）=mx+2m，在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出y=f（x），y=mx+2m的圖象，轉(zhuǎn)化為圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)的條件．

解答 解：當(dāng)x∈（-1，0]時(shí)，x+1∈（0，1]，
則$f（x）=\frac{1}{f（x+1）}-1=\frac{1}{x+1}-1$=$\frac{-x}{x+1}$=$\frac{-（x+1）+1}{x+1}$=-1+$\frac{1}{x+1}$，
由g（x）=f（x）-mx-2m=0得f（x）=mx+2m=m（x+2），
在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出y=f（x），y=m（x+2）的圖象．

動(dòng)直線y=mx+2m過(guò)定點(diǎn)A（-2，0），當(dāng)直線過(guò)B（1，1）時(shí)，斜率m=$\frac{1}{3}$，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，
由圖象可知當(dāng)0＜m≤$\frac{1}{3}$時(shí)，兩圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，從而g（x）=f（x）-mx-2m有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)根的個(gè)數(shù)的判斷和應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．，本題先由已知條件轉(zhuǎn)化為判斷兩函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，再利用函數(shù)圖象解決．