Question

設(shè)函數(shù)，．
⑴求的極值；
(2)設(shè)函數(shù)（為常數(shù)），若使≤≤在上恒成立的實數(shù)有且只有一個，求實數(shù)和的值；
(3)討論方程的解的個數(shù)，并說明理由.

Answer 1

解：⑴令，得，
區(qū)間分別單調(diào)增，單調(diào)減，單調(diào)增，
于是當時，有極大值時，有極小值；
(2)由已知得在上恒成立，
由得  時，，時，，
故時，函數(shù)取到最小值.從而；
同樣的，在上恒成立，
由得 時，； 時，，
故時，函數(shù)取到最小值. 從而，

由的唯一性知，；
(3)記=
①當時，在定義域上恒大于，此時方程無解；
②當時，在定義域上為增函數(shù).
，，所以，此時方程有唯一解。
③當時，，
當時，，所以在為減函數(shù)
當時，，所以在為增函數(shù)
所以，當時，  
（a）當時， ，所以，此時方程無解
（b）當   時， ，所以，此時方程有唯一解
（c）當時，，
因為且，所以方程在區(qū)間上有唯一解，
因為當時，，所以   
所以  
因為 ，所以
所以 方程在區(qū)間上有唯一解.
所以，此時方程有兩解.
綜上所述：當時，     方程無解；
當時， 方程有唯一解；            
當時，        方程有兩解 。

略