Question

3．如圖，ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∠BCA=90°，點E、F分別是A₁B₁、A₁C₁的中點，若BC=CA=AA₁，則BE與AF所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{30}}{10}$．

Answer 1

分析 以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出BE與AF所成角的余弦值．

解答 解：∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∠BCA=90°，
∴以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標系，
點E、F分別是A₁B₁、A₁C₁的中點，設(shè)BC=CA=AA₁=2，
則B（0，2，0），A（2，0，0），E（1，1，2），F(xiàn)（1，0，2），
$\overrightarrow{BE}$=（1，-1，2），$\overrightarrow{AF}$=（-1，0，2），
設(shè)BE與AF所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{AF}|}{|\overrightarrow{BE}|•|\overrightarrow{AF}|}$=$\frac{3}{\sqrt{6}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$，
∴BE與AF所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{30}}{10}$．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查數(shù)據(jù)處理能力，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．