Question

8．如圖，圓錐的高$PO=\sqrt{2}$，底面⊙O的直徑AB=2，C是圓上一點，且∠CAB=30°，D為AC的中點，則直線OC和平面PAC所成角的正弦值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 由已知易得AC⊥OD，AC⊥PO，可證面POD⊥平面PAC，由平面垂直的性質(zhì)考慮在平面POD中過O作OH⊥PD于H，則OH⊥平面PAC，∠OCH是直線OC和平面PAC所成的角，在Rt△OHC中，求解即可．

解答 解：因為OA=OC，D是AC的中點，所以AC⊥OD，
又PO⊥底面⊙O，AC?底面⊙O，
所以AC⊥PO，而OD，PO是平面內(nèi)的兩條相交直線
所以AC⊥平面POD，又AC?平面PAC
所以平面POD⊥平面PAC
在平面POD中，過O作OH⊥PD于H，則OH⊥平面PAC
連接CH，則CH是OC在平面上的射影，所以∠OCH是直線OC和平面PAC所成的角
在Rt△ODA中，OD=DA•sin30°=$\frac{1}{2}$，
在Rt△POD中，OH=$\frac{\sqrt{2}×\frac{1}{2}}{\sqrt{2+\frac{1}{4}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
在Rt△OHC中，sin∠OCH=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
故直線OC和平面PAC所成的角的正弦值為$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
故選C．

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，空間直線與平面所成角的求解，考查了運算推理的能力及空間想象的能力．