Question

4．直線y=x-1與拋物線y²=2x相交于P、Q兩點，拋物線上一點M與P、Q構成△MPQ的面積為$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，這樣的點M有且只有（　　）個．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 M在拋物線上，設M（t，$\sqrt{2t}$），直線與拋物線相交求出弦長PQ，利用點到直線的距離就是△MPQ的高，即可求出滿足題意的M的坐標．即可知道點M的個數(shù)．

解答 解：直線y=x-1與拋物線y²=2x相交于P、Q兩點．
聯(lián)立：$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，解得：x²-4x+1=0，則Q（2$-\sqrt{3}$，1-$\sqrt{3}$）P（2$+\sqrt{3}$，1+$\sqrt{3}$）
|PQ|=$\sqrt{2（2\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{6}$．
△MPQ的面積為$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$=2$\sqrt{6}$×d×$\frac{1}{2}$，解得：d=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
M在拋物線上，設M（t，$\sqrt{2t}$），
d=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$=$\frac{|t-\sqrt{2t}-1|}{\sqrt{2}}$
解得：$t-\sqrt{2t}-1$=3或$t-\sqrt{2t}-1$=-3．
令$\sqrt{2t}=n，t=\frac{1}{2}{n}^{2}$
則有：$\frac{1}{2}{n}^{2}-n-1$=3…①或$\frac{1}{2}{n}^{2}-n-1$=-3…②
由①△＞0，可知n有兩個解．由②化簡為（n-2）²=0，n有一個解．
故M的坐標有3個．
故選：C．

點評 本題查了拋物線與直線的關系的運用能力及計算能力．屬于基礎題．